第38练等差数列[基础保分练]1.(2019·金丽衢十二校联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S7＝14，S10＝13，则S17等于()A.27B.0C.D.－2.(2019·杭州模拟)设Sn是等差数列{an}的前n项和，对n∈N*且n>4时有S8＝20，S2n－1－S2n－9＝116，则an等于()A.6B.C.39D.783.已知等差数列{an}中，Sn为其前n项的和，S4＝5，S9＝20，则a7等于()A.－3B.－5C.3D.54.已知数列{an}是首项为3，公差为d(d∈N*)的等差数列，若2019是该数列的一项，则公差d不可能是()A.2B.3C.4D.55.若一等差数列前三项的和为122，后三项的和为148，各项的和为540，则此数列共有()A.3项B.12项C.11项D.10项6.设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－2018，－＝2，则a2等于()A.－2016B.－2018C.2018D.20167.若{an}是等差数列，首项a1>0，a23＋a24>0，a23·a24<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是()A.46B.47C.48D.498.(2019·浙江杭州二中模拟)已知首项为a1，公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，若Sk－n＝Sk＋n(n，k∈N*且k>n)，则一定有S2k等于()A.ka1B.kdC.0D.不确定9.(2019·丽水模拟)已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9构成等比数列{bn}的前3项，则＝______；若d＝2，则数列{bn}的前n项的和Sn＝______.10.已知等差数列{an}中，有＋1<0，且该数列的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0成立的n的最大值为______.[能力提升练]11.数列1，，，…，的前n项和为，则正整数n的值为()A.8B.7C.9D.62.已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A.B.±C.－D.－3.已知等差数列{an}的公差为－2，前n项和为Sn，a3，a4，a5为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为120°，若Sn≤Sm对任意的n∈N*恒成立，则m等于()A.7B.6C.5D.44.(2019·浙江学军中学模拟)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和公差d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是()A.S7B.S8C.S13D.S155.(2019·温州模拟)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a5，a11成等比数列，且a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N*)，则m＋n的值是________.6.数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，若存在非零实数t，对任意n∈N*恒有Sn＝an＋(n－1)t·an成立，则t的值为________.答案精析基础保分练1.D2.B3.C4.D5.B6.A7.A8.C9.3n－1解析因为a1，a3，a9构成等比数列{bn}的前3项，所以a＝a1a9，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，解得a1＝d，则＝＝.当d＝2时，b1＝a1＝2，b2＝a3＝6，则等比数列{bn}的首项为2，公比为3，则数列{bn}的前n项和Sn＝＝3n－1.10.19解析由＋1<0可得<0，又∵数列的前n项和Sn有最大值，∴数列的公差d＜0，∴a10＞0，a11＋a10＜0，a11＜0，∴a1＋a19＝2a10＞0，a1＋a20＝a11＋a10＜0.∴S19＞0，S20＜0，∴使得Sn＞0成立的n的最大值为19.能力提升练1.C[由题意可知，数列的通项2an＝＝＝＝2.∴Sn＝1＋＋…＋＝2＝2＝＝，∴n＝9.]2.D[由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝.∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan＝tan＝－.]3.B[由题意可得，三角形的三边长为a4＋2，a4，a4－2，则a4>2，由大边对大角可得最大角所对的边为a4＋2，结合余弦定理有，cos120°＝＝－，解得a4＝5，则数列的通项公式为an＝a4＋(n－4)d＝－2n＋13，则a6＝－12＋13＝1>0，a7＝－14＋13＝－1<0，据此可得m＝6.]4.C[由题意得a2＋a8＋a11＝a1＋d＋a1＋7d＋a1＋10d＝3a1＋18d＝3a7为定值，所以a7为定值，则S13＝13a7也为定值，故选C.]5.9解析设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，因为a2，a5，a11成等比数列，所以a＝a2a11，所以(a1＋4d)2＝(a1＋d)(a1＋10d)，解得a1＝2d，又a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N*)，所以2ma1＋m(m－1)d－2na1－n(n－1)d＝a1＋10d，化简得(m＋n＋3)(m－n)＝12，因为m>n>0，m，n∈N*，所以或解得或(舍去)，所以m＋n＝9.6.1或解析设{an}的公差为d，当d＝0时，Sn＝nan＝an＋(n－1)t·an，所以t＝1，当d≠0时，对t≠0有Sn＝an＋(n－1)t·an，①3∴当n≥2时，Sn－1＝an－1＋(n－2)t·an－1，②由①－②得an＝an＋(n－1)t·an－an－1－(n－2)t·an－1，得(n－1)t·an－(n－1)t·an－1＝(1－t)an－1，即(n－1)t·d＝(1－t)an－1对n≥2，t∈R且t≠0恒成立.当t＝1时，此时d＝0，舍去，当t≠1时，an－1＝(n－1)d，赋值可得an－an－1＝d＝d，得t＝，此时{an}是以d为首项，d为公差的等差数列.综上t＝1或t＝.45
