学业分层测评(二十一)数量积的定义(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．e1，e2是两个平行的单位向量，则e1·e2＝________.【解析】∵e1∥e2，∴e1，e2的夹角为0°或180°，∴e1·e2＝|e1||e2|cosθ＝±1.【答案】±12．已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a方向上的投影为________．【解析】∵|a|＝8，|b|＝4，b在a方向上的投影为|b|cos120°＝4×cos120°＝4×＝－2.【答案】－23．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ为120°，则a·a＋a·b＝________.【解析】∵|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，∴a·b＝|a||b|cos120°＝－.又a·a＝|a|2＝1，∴a·a＋a·b＝1－＝.【答案】4．在△ABC中，|AB|＝13，|BC|＝5，|CA|＝12，则AB·BC的值是________．【解析】∵|AB|＝13，|BC|＝5，|CA|＝12，∴|AB|2＝|BC|2＋|CA|2，∴△ABC为直角三角形．又cos∠ABC＝，∴AB·BC＝|AB||BC|cos(π－∠ABC)＝13×5×＝－25.【答案】－255．若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝________.【解析】∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝4，即|a|2－2a·b＋|b|2＝4，得1－2a·b＋4＝4，∴2a·b＝1.于是|a＋b|＝＝＝＝.【答案】6．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝________.【解析】∵|a＋b|＝，|a－b|＝，∴①－②得a·b＝1.【答案】17．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为________．【导学号：06460062】【解析】∵|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，∴a·b＝2×1×cos60°＝1，∴|a－4b|＝＝＝＝2.1【答案】28．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝________.【解析】由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】－8或5二、解答题9．(2016·南通高一检测)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求|a＋b|；(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影．【解】(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，∴|a＋b|＝＝＝.(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，∴向量a在向量a＋b方向上的投影为＝＝.10．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？【解】∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke＋ke＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0.但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.能力提升]1．(2016·镇江高一检测)定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于________．【解析】由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×＝8.【答案】82．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为________．【解析】∵(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝0，∴a·b＝－|b|2，设a与b的夹角为θ，∴cosθ＝＝＝－，∵θ∈0，π]，∴θ＝120°.【答案】120°3．(2016·苏州高一检测)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB的长为________．【解析】设|AB|＝x(x＞0)，则AB·AD＝x，所以AC·BE＝(AD＋AB)·＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的长为.【答案】24．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|＞1(k∈R)，求k的取值范围．【解】(1)证明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1且a，b，c之间的夹角均为120°，∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|cos120°＝0，∴(a－b)⊥c.(2)∵|ka＋b＋c|＞1，∴(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)＞1，即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c＞1.∵a·c＝a·b＝b·c＝cos120°＝－，∴k2－2k＞0，解得k＜0或k＞2.即k的取值范围是k＜0或k＞2.3
