第2课时平面向量的综合应用题型一平面向量与三角函数命题点1向量与三角恒等变换的结合例1已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，0<β<α<π.且a＋b＝(0,1)，则α＝________，β＝________.答案解析因为a＋b＝(0,1)，所以由此得cosα＝cos(π－β)．由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sinα＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝.又α>β，所以α＝，β＝.命题点2向量与三角函数的结合例2已知向量a＝(sinx，)，b＝(cosx，－1)．(1)当a∥b时，求tan2x的值；(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在[－，0]上的值域．解(1) a∥b，∴sinx·(－1)－·cosx＝0，即sinx＋cosx＝0，tanx＝－，∴tan2x＝＝.(2)f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2＝sinxcosx－＋cos2x＋1＝sin2x－＋cos2x＋＋1＝sin(2x＋)． －≤x≤0，∴－π≤2x≤0，－≤2x＋≤，∴－≤sin(2x＋)≤，∴f(x)在[－，0]上的值域为[－，]．命题点3向量与解三角形的结合例3已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cosx，－sin2x)，b＝(cosx,1)，x∈R.(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝，且向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，求边长b与c的值．解(1)f(x)＝2cos2x－sin2x＝1＋cos2x－sin2x＝1＋2cos(2x＋)，1令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数y＝f(x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2) f(A)＝1＋2cos(2A＋)＝－1，∴cos(2A＋)＝－1，又<2A＋<，∴2A＋＝π，即A＝. a＝，∴由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc＝7.① 向量m＝(3，sinB)与n＝(2，sinC)共线，∴2sinB＝3sinC，由正弦定理得2b＝3c，②由①②得b＝3，c＝2.思维升华利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．INCLUDEPICTURE"E:\\赵丽君2017\\2017大一轮\\大一轮数学（浙江专用）\\word\\跟踪训练1.TIF"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"E:\\赵丽君2017\\2017大一轮\\大一轮数学（浙江专用）\\word\\跟踪训练1.TIF"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"E:\\赵丽君2017\\2017大一轮\\大一轮数学（浙江专用）\\word\\跟踪训练1.TIF"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"E:\\赵丽君2017\\2017大一轮\\大一轮数学（浙江专用）\\word\\跟踪训练1.TIF"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"E:\\赵丽君2017\\2017大一轮\\大一轮数学（浙江专用）\\word\\跟踪训练1.TIF"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"F:\\2017赵瑊\\看PPT\\一轮数学（浙江）一校。\\word\\跟踪训练1.TIF"\*MERGEFORMATINET(1)函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且OM·ON＝0，则函数f(x)的最小正周期是______．INCLUDEPICTURE"E:\\赵丽君2017\\2017大一轮\\大一轮数学（浙江专用）\\word\\5-29.TIF"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"E:\\赵丽君2017\\2017大一轮\\大一轮数学（浙江专用）\\word\\5-29.TIF"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"E:\\赵丽君2017\\2017大一轮\\大一轮数学（浙江专用）\\word\\5-29.TIF"\*MERGEFORMATINET2INCLUDEPICTURE"E:\\赵丽君2017\\2017大一轮\\大一轮数学（浙江专用）\\word\\5-29.TIF"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"E:\\赵丽君2017\\2017大一轮\\大一轮数学（浙江专用）\\word\\5-29.TIF"\*MERGEFORMATINETINCLUDEPICTURE"F:\\2017赵瑊\\看PPT\\一轮数学（浙江）一校。\\word\\5-29.TIF"\*MERGEFORMATINET(2)(2016·浙江五校一联)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝6，sinA－sinC＝sin(A－B)，若1≤a≤6，则sinC的取值范围是________．答案(1)3(2)[，1]解析(1)由图象可知，M(，1)，N(xN，－1)，所以OM·ON＝(，1)·(xN，－1)＝xN－1＝0，解得xN＝2，所以函数f(x)的最小正周期是2×＝3.(2)由sinA－sinC＝sin(A－B)，得sinA＝sinC＋sin(A－B)＝sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosB，又sinA≠0，所以cosB＝.当a＝6cosB＝3∈[1,6]时，sinC＝1；当a＝1时，b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋36－2×1×6×＝31，所以b＝，于是＝，得s...
