高二数学不等关系与不等式知识精讲人教实验版(B)一.本周教学内容：3.1不等关系与不等式3.2均值不等式二.教学目的1.理解不等号的意义和不等式概念，会用不等式和不等式组表示各种不等关系。理解实数大小与实数运算的关系，会用比差法比较两个实数的大小关系。2.能根据实数的基本性质得出不等式的基本性质，并会证明。会运用不等式的基本性质进行推理和变形。3.探究成立的条件和证明方法，等号成立的条件和几何解释，会用这个基本不等式解决简单问题。4.通过实例学会运用基本不等式求最值的方法。理解用不等式求最值的条件，并能求实际问题的最大值或最小值。三.教学重点、难点重点：（1）用比差法比较两个实数的大小关系；（2）不等式的性质及其应用；（3）理解不等式和的意义，应用这些不等式解决简单问题；（4）运用基本不等式求最值。难点：不等式的性质及其应用；运用基本不等式求最值。四.知识分析（一）不等关系与不等式1.用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式。2.数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。3.对于任意两个实数a和b，在三种关系中有且只有一种关系成立。4.这组关系告诉我们比较两个实数的大小，可以通过判断它们的差的符号来确定。5.若a、b∈R＋，则这组关系告诉我们比较两个正实数的大小，可以通过判用心爱心专心断它们的商与“1”的大小关系来确定。（二）不等式的性质不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础，证明这些性质必须是严格的，不能盲目地乱用。保证每一步推理都有理论根据，否则可能导致推理错误。1.等式两边同乘以同一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数a（或代数式），结果有三种：（1）当a＞0时，得同向不等式。（2）当a＝0时，得等式。（3）当a＜0时，得异向不等式。2.不等式性质，有同向不等式相加，得同向不等式，并无相减。若或.这个结论常用，不妨记为：“大数减小数大于小数减大数。”3.不等式性质，有均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除。若，这个结论也常用。不妨记为：“大正数除以小正数大于小正数除以大正数。”4.不等式性质有.不能忽略a、b均为正数这个条件，即由是不一定成立的。5.由成立。但不一定成立。反过来也不一定成立。事实上。（三）均值不等式1.对于任意实数a，b都有，当且仅当a＝b时等号成立。2.对于任意正实数a，b都有，当且仅当a＝b时等号成立。3.对于任意正实数a,b都有，当且仅当a＝b时等号成立。4.不等式的几何解释：如图，AB是⊙O的直径，C是AB上任意一点，DE是用心爱心专心过C点垂直于AB的弦。若AC＝a,BC＝b则AB＝a＋b，⊙O的半径，Rt△ACD∽Rt△BCD，,。考虑到CD≤r，当且仅当C点与O点重合时，CD＝r＝，即。5.设x，y是正实数（1）若x＋y＝s（和s为定值），则当x＝y时，积xy有最大值为；（2）若xy＝p（积p为定值），则当x＝y时，和x＋y有最小值为2；6.利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：（1）x，y必须是正数；（2）求积的最大值时，和必须为定值；求和的最小值时，积必须为定值；（3）重要不等式中的等号必须成立，且等号成立的条件是x＝y。即：①利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值。②两次使用重要不等式求最值时，必须使两次等号成立的条件同时成立，否则不可。3.使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法，如，可令：t＝，此时在上是增函数；故。【典型例题】例1.已知，试比较的大小解析：用心爱心专心 ∴当时，故当a≠b时，故点评：比较法是证明不等式中最基本最重要的方法，其步骤为：作差（或n次方作差）——变形——确定符号——得出结论。其中，作差是依据，变形是手段，确定差的符号是目的，至于证题的思路体现了数学中的转化思想。这里，关键的步骤是对差式的变形，常用的变形方法有：配方法、因式分解法及通分等，从而将差变形为常数，或变形为常数与几个平方和的形式，或变形为几个因式积的形式。总之，变形到能确定出差的符号即可。对于不等式...
