【高考新坐标】2016届高考数学总复习第三章第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式课后作业[A级基础达标练]一、选择题1．(2013·江西高考)若sin＝，则cosα＝()A．－B．－C.D.[解析]cosα＝1－2sin2＝1－2×＝.[答案]C2．(2015·威海调研)＝()A．－B．－C.D.[解析]原式＝＝＝＝sin30°＝.[答案]C3．(2015·青岛模拟)已知sinα＋cosα＝，则1－2sin2＝()A.B.C．－D．－[解析]由sinα＋cosα＝，得1＋2sinαcosα＝，∴sin2α＝－.因此1－2sin2＝cos2＝sin2α＝－.[答案]C4．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，且α是第二象限角，则tan等于()A．7B．－7C.D．－[解析]∵sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝，∴cosα＝－.又α是第二象限角，∴sinα＝，则tanα＝－.∴tan＝＝＝.[答案]C5．定义运算＝ad－bc.若cosα＝，＝，0<β<α<，则β等于()A.B.C.D.[解析]依题意，由＝，得sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝，∵0<β<α<，知0<α－β<，∴cos(α－β)＝＝，又cosα＝，知sinα＝，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.故β＝.[答案]D二、填空题6．(2015·东营质检)已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________．[解析]tanβ＝＝tan，且α、β均为锐角，∴β＝－α，∴α＋β＝，∴tan(α＋β)＝1.[答案]17．若α∈，且3cos2α＝sin，则sin2α的值为________．[解析]cos2α＝sin＝sin＝2sincos，代入原式，得6sincos＝sin，∵α∈，∴cos＝，∴sin2α＝cos＝2cos2－1＝－.[答案]－8．(2015·临沂调研)设函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导数，若f(x)＝2f′(x)，则＝________．[解析]f′(x)＝cosx－sinx，由f(x)＝2f′(x)，得sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，∴cosx＝3sinx.于是＝＝＝－.[答案]－三、解答题9．(2014·广东高考)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.[解](1)f＝Asin＝Asin＝A＝，所以A＝3.(2)f(θ)－f(－θ)＝3sin－3sin＝3＝6sinθcos＝3sinθ＝，所以sinθ＝.又因为θ∈，所以cosθ＝＝＝，所以f＝3sin＝3sin＝3cosθ＝.10．(2014·江西高考)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.(1)当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．[解](1)f(x)＝sin＋cos＝(sinx＋cosx)－sinx＝cosx－sinx＝sin.因为x∈[0，π]，从而－x∈.故f(x)在[0，π]上的最大值为，最小值为－1.(2)由得由θ∈知cosθ≠0，解得[B级能力提升练]1．已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg5)，b＝f，则()A．a＋b＝0B．a－b＝0C．a＋b＝1D．a－b＝1[解析]由题意知f(x)＝sin2＝＝，令g(x)＝sin2x，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋，a＝f(lg5)＝g(lg5)＋，b＝f＝g＋，∴a＋b＝g(lg5)＋g＋1＝g(lg5)＋g(－lg5)＋1＝1.[答案]C2．已知cos＝－，则cosx＋cos的值是________．[解析]cosx＋cos＝cosx＋cosx＋sinx＝cosx＋sinx＝＝cos＝×＝－1.[答案]－13．(2014·四川高考)已知函数f(x)＝sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f＝coscos2α，求cosα－sinα的值．[解](1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为，k∈Z，由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋，＋]，k∈Z.(2)∵f(x)＝sin且f＝coscos2x，所以sin＝cos(cos2α－sin2α)，所以sinαcos＋cosαsin＝·(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.此时，cosα－sinα＝－.当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝.由α是第二象限角，知cosα－sinα＜0，此时cosα－sinα＝－.综上所述，cosα－sinα＝－或－.
