三直线的参数方程课时过关·能力提升基础巩固1经过点M(2,7)且倾斜角为π6的直线,以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是()A.{x=2-√32t,y=7+12t(t为参数)B.{x=2+√32t,y=7-12t(t为参数)C.{x=2-√32t,y=7-12t(t为参数)D.{x=2+√32t,y=7+12t(t为参数)解析根据直线参数方程的定义,得{x=2+tcosπ6,y=7+tsinπ6¿),即{x=2+√32t,y=7+12t¿).答案D2若直线的参数方程为{x=√3+12t,y=3-√32t(t为参数),则该直线的斜率为()A.√3B.−√3C.√33D.−√33解析直线的参数方程为{x=√3+12t,y=3-√32t,化为标准形式{x=√3+(-t)cos120°,y=3+(-t)sin120°¿),所以直线的倾斜角为120°,斜率为−√3.答案B13(2018·北京朝阳区一模)若直线l的参数方程为{x=-√3t,y=1+3t(t为参数),则l的倾斜角大小为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析由直线l的参数方程为{x=-√3t,y=1+3t¿),可知直线l的普通方程为y=1−√3x,所以直线l的斜率为−√3,即倾斜角为2π3.答案C★4直线{x=2+3t,y=-1+t(t为参数)上与t1=0,t2=1对应的两点间的距离是()A.1B.√10C.10D.2√2解析因为题目所给方程不是直线参数方程的标准形式,所以不能直接由1-0=1求得距离,应将t1=0,t2=1分别代入方程得到两点坐标(2,-1)和(5,0).由两点间的距离公式求解,即√(2-5)2+(-1-0)2=√10.答案B5若{x=x0-3λ,y=y0+4λ(λ为参数)与{x=x0+tcosα,y=y0+tsinα(t为参数)表示同一条直线,则λ与t的关系是()A.λ=5tB.λ=-5tC.t=5λD.t=-5λ解析比较x-x0,得-3λ=tcosα,比较y-y0,得4λ=tsinα.消去α的三角函数,得25λ2=t2,得t=±5λ.借助于直线的斜率,可排除t=-5λ,所以t=5λ.答案C6已知P1,P2是直线{x=1+12t,y=-2+√32t(t为参数)上的两点,它们所对应的参数分别为t1,t2,则线段P1P2的中点到点P(1,−2)的距离是()A.|t1|+|t2|2B.|t1+t2|22C.|t1-t2|2D.||t1|-|t2||2解析由t的几何意义可知,P1P2的中点对应的参数为t1+t22,P对应的参数为t=0,故它到点P的距离为|t1+t2|2.答案B7过点P(-3,0)且倾斜角为30°的直线的参数方程为.答案{x=-3+√32t,y=12t(t为参数)8已知直线l1:{x=1+3t,y=2-4t(t为参数)与直线l2:2x−4y=5相交于点B,且点A(1,2),则∨AB∨¿.解析将{x=1+3t,y=2-4t代入2x-4y=5,得t¿12,则B(52,0).又A(1,2),所以|AB|¿52.答案529已知直线l的方程为3x-4y+1=0,点P(1,1)在直线l上,写出直线l的参数方程,并求点P到点M(5,4)和点N(-2,6)的距离.解由直线方程3x-4y+1=0可知,直线的斜率为34.设直线的倾斜角为α,则tanα¿34,sinα=35,cosα=45.又点P(1,1)在直线l上,所以直线l的参数方程为{x=1+45t,y=1+35t¿).因为3×5-4×4+1=0,所以点M在直线l上.由1+45t=5,得t=5,即点P到点M的距离为5.因为点N不在直线l上,根据两点之间的距离公式,可得|PN|¿√(1+2)2+(1-6)2=√34.10在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为{x=1-√22t,y=2+√22t(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.3解将直线l的参数方程{x=1-√22t,y=2+√22t代入抛物线方程y2=4x,得(2+√22t)2=4(1-√22t).解得t1=0,t2=-8√2.所以AB=|t1-t2|=8√2.能力提升1对于参数方程{x=1-tcos30°,y=2+tsin30°(t为参数)和{x=1+tcos30°,y=2-tsin30°(t为参数),下列结论正确的是()A.倾斜角为30°的两条平行直线B.倾斜角为150°的两条重合直线C.两条垂直且相交于点(1,2)的直线D.两条不垂直且相交于点(1,2)的直线解析因为参数方程{x=1-tcos30°,y=2+tsin30°可化为标准形式{x=1+tcos150°,y=2+tsin150°,所以其倾斜角为150°.同理,参数方程{x=1+tcos30°,y=2-tsin30°可化为标准形式{x=1+(-t)cos150°,y=2+(-t)sin150°,所以其倾斜角也为150°.又因为两条直线都过点(1,2),所以两条直线重合.答案B2直线{x=-2-√2t,y=3+√2t(t为参数)上与点P(−2,3)的距离等于√2的点的坐标是()A.(-4,5)B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5)或(0,1)解析直线的参数方程化为标准形式为{x=-2-2·√22t=-2-√22t',y=3+2·√22t=3+√22t'¿,且t'=2t),由参数t'的几何意义可知|t'|¿√2,即t'=±√2.当t'¿√2时,{x=-3,y=4;当t'=−√2时,{x=-1,y=2.故选C.答案C3下列可以作为直线2x-y+1=0的参数方程的是()A.{x=1+t,y=3+t(t为参数)B.{x=1-t,y=5-2t(t为参数)4C.{...
