课时作业(四十五)第45讲第2课时空间向量的应用基础热身1.(12分)[2017·郴州三模]如图K45-11所示,C是以AB为直径的圆上异于A,B的点,平面PAC⊥平面ABC,PA=PC=AC=2,BC=4,E,F分别是PC,PB的中点,记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.(1)求证:直线l⊥平面PAC.(2)直线l上是否存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF,直线EF所成的角互余?若存在,求出AQ的值;若不存在,请说明理由.图K45-112.(12分)[2017·北京丰台区一模]如图K45-12①所示,平面五边形ABCDE中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=2,CD=1,△ADE是边长为2的正三角形.现将△ADE沿AD折起,得到四棱锥E-ABCD(如图②),且DE⊥AB.(1)求证:平面ADE⊥平面ABCD.(2)求平面BCE和平面ADE所成锐二面角的大小.(3)在棱AE上是否存在点F,使得DF∥平面BCE?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.图K45-12能力提升3.(12分)[2017·濮阳一模]如图K45-13所示,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,PD⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,DC=2AB=2,DA=.(1)线段BC上是否存在一点E,使平面PBC⊥平面PDE?若存在,请求出的值,并进行证明;若不存在,请说明理由.(2)若PD=,线段PC上有一点F,且PC=3PF,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.图K45-134.(12分)[2017·天津河西区一模]如图K45-14所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=2,四边形ABCD满足AB⊥AD,BC∥AD,BC=4,点M为PC的中点,点E为BC边上的动点,且=λ.(1)求证:DM∥平面PAB.(2)求证:平面ADM⊥平面PBC.(3)是否存在实数λ,使得二面角P-DE-B的余弦值为?若存在,试求出实数λ的值;若不存在,说明理由.图K45-145.(12分)[2017·玉溪民族中学模拟]直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,E,F分别是CC1,BC的中点,且AE⊥A1B1,(1)证明:AB⊥平面A1ACC1.(2)棱A1B1上是否存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为?若存在,说明点D的位置;若不存在,说明理由.图K45-15难点突破6.(12分)[2017·北京昌平区二模]如图K45-16所示,三棱柱ABC-A1B1C1中,BC垂直于正方形A1ACC1所在平面,AC=2,BC=1,D为AC中点,E为线段BC1上的一点(端点除外),平面AB1E与BD交于点F.(1)若E不是BC1的中点,求证:AB1∥EF.(2)若E是BC1的中点,求AE与平面BC1D所成角的正弦值.(3)在线段BC1上是否存在点E,使得A1E⊥CE?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.图K45-16课时作业(四十五)第2课时1.解:(1)证明: E,F分别是PC,PB的中点,∴BC∥EF,又EF⊂平面EFA,BC⊄平面EFA,∴BC∥平面EFA.又BC⊂平面ABC,平面EFA∩平面ABC=l,∴BC∥l.又BC⊥AC,平面PAC∩平面ABC=AC,平面PAC⊥平面ABC,∴BC⊥平面PAC,∴l⊥平面PAC.(2)以C为坐标原点,CA为x轴,CB为y轴,过C垂直于平面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0,),E,0,,F,2,,∴=-,0,,=(0,2,0).设Q(2,y,0),平面AEF的法向量为m=(x,y,z),则取z=,得m=(1,0,).又=(1,y,-),∴|cos<,>|==,|cos<,m>|==.依题意,得|cos<,>|=|cos<,m>|,即=,解得y=±1.∴直线l上存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF,直线EF所成的角互余,且AQ=1.2.解:(1)证明:由已知得AB⊥AD,AB⊥DE.因为AD∩DE=D,所以AB⊥平面ADE.又AB⊂平面ABCD,所以平面ADE⊥平面ABCD.(2)设AD的中点为O,连接EO.因为△ADE是正三角形,所以EA=ED,所以EO⊥AD.因为平面ADE⊥平面ABCD,平面ADE∩平面ABCD=AD,EO⊂平面ADE,所以EO⊥平面ABCD.以O为原点,OA所在的直线为y轴,在平面ABCD内过O垂直于AD的直线为x轴,OE所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示.由已知,得E(0,0,),B(2,1,0),C(1,-1,0),所以=(-1,1,),=(1,2,0).设平面BCE的法向量为m=(x,y,z),则令y=1,得m=(-2,1,-).易知平面ADE的一个法向量为n=(1,0,0),所以cos==-,所以平面BCE和平面ADE所成的锐二面角大小为.(3)在棱AE上存在点F,使得DF∥平面BCE,此时=.理由如下:设BE的中点为G,连接CG,FG,则FG∥AB,FG=AB.因为AB∥CD,且CD=AB,所以FG∥CD,且FG=CD,所以四边形CDFG是平行四边形,所以DF∥CG.因为CG⊂平面BCE,且DF⊄平面BCE,所以DF∥平面BCE.3.解:(1)当=1时,平面PBC⊥平面PDE.证明如下:连接BD, ∠BAD=90°,AB=1,DA=,∴BD=DC=2.又E为BC的中点,∴BC⊥DE.又PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥PD.又DE∩PD=D,∴BC⊥平面PDE. BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PDE.(2)以D为坐...
