第十七章坐标系与参数方程考点一坐标系与极坐标16.(2015安徽,12,5分)在极坐标系中,圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=(ρ∈R)距离的最大值是.答案6解析圆ρ=8sinθ化为直角坐标方程为x2+y2=8y,即x2+(y-4)2=16,直线θ=(ρ∈R)化为直角坐标方程为y=x.圆心(0,4)到直线x-y=0的距离d==2.又圆的半径为4,则圆上的点到直线距离的最大值是2+4=6.17.(2012上海,10,4分)如图,在极坐标系中,过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α=.若将l的极坐标方程写成ρ=f(θ)的形式,则f(θ)=.答案解析解法一:由点斜式得直线的直角坐标方程为y=(x-2).由得ρ=1,即ρ=.解法二:设直线上任意一点P(ρ,θ),在△POM中,由正弦定理得=,即ρ=.评析本题考查了直线的极坐标方程,极坐标方程与直角坐标方程互化.18.(2012陕西,15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)直线2ρcosθ=1与圆ρ=2cosθ相交的弦长为.答案解析将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别为x=,(x-1)2+y2=1.所求的弦长等于2=.评析本题考查直线和圆的位置关系,将极坐标方程化为直角坐标方程是关键.19.(2012安徽,13,5分)在极坐标系中,圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ=(ρ∈R)的距离是.答案解析由题意将极坐标方程转化为普通方程.圆C:x2+(y-2)2=4,圆心C(0,2).直线l:x-y=0.故圆心C到直线l的距离d==.评析本题考查了圆与直线的极坐标方程与普通方程的转化,以及点到直线的距离公式,考查了学生的运算求解能力.20.(2015江苏,21C,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin-4=0,求圆C的半径.解析以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2+2ρ-4=0,化简,得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0.则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,即(x-1)2+(y+1)2=6,所以圆C的半径为.21.(2014辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解析(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上的点(x,y),依题意,得由+=1得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.故C的参数方程为(t为参数).(2)由解得或不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=.22.(2012辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4.(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.解析(1)圆C1的极坐标方程为ρ=2,圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ.解得ρ=2,θ=±,故圆C1与圆C2交点的坐标为,.(6分)注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)解法一:由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1,),(1,-).故圆C1与C2的公共弦的参数方程为(-≤t≤).或参数方程写成(-≤y≤)(10分)解法二:将x=1代入得ρcosθ=1,从而ρ=.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为.(10分)评析本题考查坐标系与参数方程,考查学生的运算求解能力、转化与化归思想.考点二参数方程11.(2012湖南,9,5分)在直角坐标系xOy中,已知曲线C1:(t为参数)与曲线C2:(θ为参数,a>0)有一个公共点在x轴上,则a=.答案解析把曲线C1的参数方程化为普通方程为y=-2x+3,曲线C2的普通方程为+=1,直线y=-2x+3与x轴的交点为,即a=.评析本题考查了直线和椭圆的位置关系,把曲线的参数方程化成普通方程是求解的关键.12.(2013福建,21(2),7分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρcos=a,且点A在直线l上.(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.解析(1)由点A在直线ρcos=a上,可得a=.所以直线l的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2,从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1,因为...
