每日一题规范练(第二周)[题目1](本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos2x0的值．解：(1)f(x)＝(2sinxcosx)＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin，所以函数f(x)的最小正周期为π.又x∈，所以2x＋∈，所以sin∈，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1.(2)因为f(x0)＝2sin＝，所以sin＝，又x0∈，知2x0＋∈.所以cos＝－＝－，所以cos2x0＝cos＝cos(2x0＋)·cos＋sinsin＝－×＋×＝.[题目2](本小题满分12分)已知数列{an}是等差数列，a2＝6，前n项和为Sn数列{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.(1)求{an}，{bn}的通项公式；(2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.解：(1)因为数列{an}是等差数列，a2＝6，所以S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，所以b1＝1，因为b2＝2，数列{bn}是等比数列，所以bn＝2n－1，则b3＝4.由a1b3＝12，得a1＝3，则等差数列{an}的公差为d＝a2－a1＝3.所以an＝3＋3(n－1)＝3n(n∈N*)．(2)设Cn＝bncos(anπ)，由(1)得Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1，则Cn＋1＝(－1)n＋12n，所以＝－2，又C1＝－1，所以数列{bncos(anπ)}是以－1为首项，－2为公比的等比数列．所以Tn＝＝[(－2)n－1]．[题目3](本小题满分12分)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下2×2列联表：爱好情况男女总计爱好40不爱好25总计45100(1)将题中的2×2列联表补充完整；(2)能否有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关？请说明理由；(3)如果按性别进行分层抽样，从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”，现从“运动达人社”中选派3人参加某项校际挑战赛，记选出3人中的女大学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828K2＝.解：(1)题中的2×2列联表补充如下：分类男女总计爱好402060不爱好152540总计5545100(2)K2＝≈8.25＞6.635，所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关．(3)由题意，抽取的6人中包括男生4名，女生2名，X的取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，故X的分布列为X012PE(X)＝0×＋1×＋2×＝1.[题目4](本小题满分12分)在如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA＝DA＝AB＝2CB，EA⊥AB，M是线段EC上的点(不与端点重合)，F为线段DA上的点，N为线段BE的中点．(1)若M是线段EC的中点，AF＝3FD，求证：FN∥平面MBD；(2)若＝λ，二面角MBDA余弦值为，求λ的值．(1)证明：连接MN.因为M，N分别是线段EC，线段BE的中点，所以MN∥CB且MN＝CB＝DA，又AF＝3FD，所以FD＝DA，所以MN＝FD，又CB∥DA，所以MN∥DA，所以MN∥FD.所以四边形MNFD为平行四边形，所以FN∥MD，又FN⊄平面MBD，MD⊂平面MBD，所以FN∥平面MBD.(2)解：由已知，分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．设CB＝1，则A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(0，2，1)，D(0，0，2)，E(2，0，0)DB＝(0，2，－2)，DC＝(0，2，－1)，CE＝(2，－2，－1)，因为EM＝λMC，所以CM＝CE，DM＝DC＋CM＝DC＋CE＝＝(2，2λ，－2－λ)．设平面ABD的一个法向量为n1＝(1，0，0)，平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，则有n⊥DB，n⊥DM.所以令z＝1，则n＝.因为平面ABD与平面MBD所成二面角的余弦值为，所以|cos〈n，n1〉|＝＝⇒＝，解得λ＝1或λ＝3.又因为平面ABD与平面MBD所成二面角为锐角，所以λ＝1.[题目5](本小题满分12分)已知a为实数，函数f(x)＝alnx＋x2－4x.(1)若x＝3是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值；(2)设g(x)＝(a－2)x，若存在x0∈，使得f(x0)≤g(x0)成立，求实数a的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2x－4＝.因为x＝3是函数f(x)的一个极值点，所以f′(3)＝0，解得a＝－6.经检验，当a＝－6时，x＝3是函数f(x)的一个极小值点，符合题意，故实数a的值为－6.(2)由f(x0)≤g(x0)，得(x0－lnx0)a≥x－2x0，记F(x)＝x－lnx(x＞0)，则F′(x)＝(x＞0)，所以当0＜x＜1时，F′(x)＜0，F(x)单调递减；当x＞1时，F′(x)＞0，F(x)单调递增．所以F(x)＞F(1)＝1＞0...
