高考数学总复习 第2章 函数与导数 第12课时 导数在研究函数中的应用课时训练（含解析）-人教版高三全册数学试题VIP免费

第二章函数与导数第12课时导数在研究函数中的应用1.函数y＝3x2－6lnx的单调减区间是__________．答案：(0，1)2.已知函数f(x)＝x－sinx，则f(x)在[0，π]上的值域为________．答案：解析：f′(x)＝－cosx，令f′(x)＝0，得x＝，经检验知当x＝时，函数f(x)取最小值．3.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则实数a的取值范围是________．答案：(－1，0)解析：分a>0，－10；当x∈(－1，1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0.函数f(x)在x＝－1处取得极大值，在x＝1处取得极小值．要使函数有3个不同的零点，只需两个极值异号即可，∴f(－1)f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，a∈(－2，2)．6.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为________．答案：解析：设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)，V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0；∴当x＝时，V取最大值．7.若函数f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围是________．答案：a≥3解析：f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立．令g(x)＝－2x，求导可得g(x)在上的最大值为3，所以a≥3.8.已知x、y为正数，则＋的最大值为________．答案：解析：因为x、y为正数，所以设u＝＋＝＋.令t＝(t>0)，则u＝＋＝＋，所以u′＝－＋＝－，令u′＝0，得t＝1，且当t∈(0，1)时，u′>0，当t∈(1，＋∞)时，u′<0，所以当t＝1时，u的最大值为.9.已知函数f(x)＝x3－3ax2－bx，其中a、b为实数．(1)若f(x)在x＝1处取得的极值为2，求a、b的值；(2)若f(x)在区间[－1，2]上为减函数，且b＝9a，求a的取值范围．解：(1)由题意知：f′(1)＝0且f(1)＝2，即解得a＝，b＝－5.(2) f′(x)＝3x2－6ax－b＝3x2－6ax－9a，又f(x)在[－1，2]上为减函数，∴f′(x)≤0对x∈[－1，2]恒成立，即3x2－6ax－9a≤0对x∈[－1，2]恒成立．∴f′(－1)≤0且f′(2)≤0，即a≥1，∴a的取值范围是a≥1.10.工厂生产某种零件，每天需要固定成本100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若每天生产的零件能全部售出，每件的销售收入P(x)(元)与当天生产的件数x(件)之间的关系为P(x)＝设当天利润为y元．(1)写出y关于x的函数关系式；(2)要使当天利润最大，当天应生产多少件零件？(注：利润等于销售收入减去总成本)解：(1)当010时，y＝x－2x－100＝－2x－＋420.∴y＝(2)设y＝h(t)＝①当00；当910时，y′＝－－2.令y′＝0，得t＝11.当100；当t>11时，y′<0.当t＝11时，ymax＝387. x∈N*，∴综合①②知，当x＝11时，y取得最大值．故要使当天利润最大，当天应生产11件零件．11.(文)已知函数f(x)＝ax2－2x＋2＋lnx，a∈R.(1)当a＝0时，求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在(1，＋∞)上只有一个极值点，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝0时，f(x)＝－2x＋2＋lnx.令f′(x)＝－2＝＞0，解得0＜x＜，所以f(x)的单调增区间为或.(2)令f′(x)＝ax－2＋＝＝0，f(x)在(1，＋∞)上只有一个极值点f′(x)＝0在(1，＋∞)上只有一个根且不是重根．令g(x)＝ax2－2x＋1，x∈(1，＋∞)．①当a＝0时，g(x)＝－2x＋1，不符合在(1，＋∞)上有一个根的条件，舍去；②当a＞0时，g(x)＝ax2－2x＋1，在(1，＋∞)上只有一个根且不是重根g(1)＜00＜a＜1；③当a＜0时，g(x)＝ax2－2x＋1，在(1，＋∞)上只有一个根且不是重根g(1)＞0a＞1，矛盾．综上所述，实...