第二节平面向量的数量积及应用限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A级基础夯实练1．(2018·山东济南模拟)已知矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，则AC·CB＝()A．1B．－1C.D．2解析：选B.设AB＝a，AD＝b，则a·b＝0， |a|＝，|b|＝1，∴AC·CB＝(a＋b)·(－b)＝－a·b－b2＝－1.故选B.2．(2018·陕西吴起高级中学质检)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则|a－2b|＝()A.B．1C．2D．解析：选B. |a－2b|2＝|a|2＋4|b|2－4a·b＝1＋1－1＝1，∴|a－2b|＝1.故选B.3．(2018·昆明检测)已知非零向量a，b满足a·b＝0，|a|＝3，且a与a＋b的夹角为，则|b|＝()A．6B．3C．2D．3解析：选D.因为a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a||a＋b|cos，所以|a＋b|＝3，将|a＋b|＝3两边平方可得，a2＋2a·b＋b2＝18，解得|b|＝3，故选D.4．(2018·成都检测)已知平面向量a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，则实数λ的值为()A.B．－C.D．－解析：选D.因为a＝(－2,3)，b＝(1,2)，向量λa＋b与b垂直，所以(－2λ＋1,3λ＋2)·(1,2)＝－2λ＋1＋2(3λ＋2)＝4λ＋5＝0，解得λ＝－.故选D.5．(2018·江西三校联考)若|a|＝2，|b|＝4，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为()A.B．C.D．－解析：选A. (a＋b)⊥a，∴(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－4，cos〈a，b〉＝＝＝－，∴〈a，b〉＝，故选A.6．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥BC解析：选D.因为BC＝AC－AB＝(2a＋b)－2a＝b，所以|b|＝2，故A错误；由于AB·AC＝2a·(2a＋b)＝4|a|2＋2a·b＝4＋2×1×2×＝2，所以2a·b＝2－4|a|2＝－2，所以a·b＝－1，故B，C错误；又因为(4a＋b)·BC＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥BC.7．(2018·永州模拟)在△ABC中，若A＝120°，AB·AC＝－1，则|BC|的最小值是()A.B．2C.D．6解析：选C. AB·AC＝－1，∴|AB|·|AC|·cos120°＝－1，即|AB|·|AC|＝2，∴|BC|2＝|AC－AB|2＝AC2－2AB·AC＋AB2≥2|AB|·|AC|－2AB·AC＝6，∴|BC|min＝.8．(2018·豫南九校联考)已知向量a＝(m,2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则的值为________．解析： a⊥b，∴2m－2＝0，∴m＝1，则2a－b＝(0,5)，a＋b＝(3,1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，|2a－b|＝5，∴＝＝1.9．(2018·江苏扬州质检)已知点E是正方形ABCD的边CD的中点，若AE·DB＝－2，则AE·BE＝________.解析：如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2a(a＞0)，则A(0,0)，E(a,2a)，B(2a,0)，D(0,2a)，可得AE＝(a,2a)，DB＝(2a，－2a)，若AE·DB＝－2，则2a2－4a2＝－2，解得a＝1，所以BE＝(－1,2)，AE＝(1,2)，所以AE·BE＝3.答案：310．在△ABC中，AB⊥AC，M是BC的中点．(1)若|AB|＝|AC|，求向量AB＋2AC与向量2AB＋AC的夹角的余弦值；(2)若O是线段AM上任意一点，且|AB|＝|AC|＝，求OA·OB＋OC·OA的最小值．解：(1)设向量AB＋2AC与向量2AB＋AC的夹角为θ，则cosθ＝，令|AB|＝|AC|＝a，则cosθ＝＝.(2) |AB|＝|AC|＝，∴|AM|＝1，设|OA|＝x(0≤x≤1)，则|OM|＝1－x.而OB＋OC＝2OM，所以OA·OB＋OC·OA＝OA·(OB＋OC)＝2OA·OM＝2|OA|·|OM|cosπ＝2x2－2x＝22－，当且仅当x＝时，OA·OB＋OC·OA取得最小值，最小值为－.B级能力提升练11．(2018·佛山调研)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是()A．1B．2C.D．解析：选C.设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则(a－c)·(b－c)＝0，即(1－x，－y)·(－x,1－y)＝0，整理得2＋2＝，这是一个圆心坐标为，半径为的圆，所求的值等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离．根据图形可知，这个最大距离是，即所求的最大值为.12．(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝OA·OB，I2＝OB·OC，I3＝OC·OD，则()A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3解析：选C.在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＜，得cos∠CAD＜cos∠CAB，即∠CAD＞∠CAB.在等腰△ABD...
