第二课时利用导数研究函数的极值与最值【选题明细表】知识点、方法题号导数研究函数的极值2,3,4,5,7,11导数研究函数的最值4,6导数研究函数的极值与最值综合问题9综合问题1,8,10基础巩固(建议用时:25分钟)1.(2018·四川遂宁一诊)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=2处有极值,则ab的最大值等于(C)(A)121(B)144(C)72(D)80解析:由题意,f'(x)=12x2-2ax-2b,因为在x=2处有极值,所以f'(2)=0,即2a+b=24,因为a>0,b>0,所以2ab≤()2=144,当且仅当2a=b时取等号,所以ab的最大值等于72.故选C.2.(2018·河南豫南九校高三联考)已知函数f(x)=2f'(1)lnx-x,则f(x)的极大值为(B)(A)2(B)2ln2-2(C)e(D)2-e解析:f(x)=2f'(1)lnx-x,则f'(x)=-1,令x=1得f'(1)=2f'(1)-1,所以f'(1)=1,则f(x)=2lnx-x,f'(x)=-1=,所以函数f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,则f(x)的极大值为f(2)=2ln2-2,故选B.3.(2018·广东东莞市高考模拟)若x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,则(A)(A)f(x)有极大值-1(B)f(x)有极小值-1(C)f(x)有极大值0(D)f(x)有极小值0解析:因为f(x)=ax+lnx,x>0,所以f'(x)=a+,因为x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,所以f'(1)=a+1=0,解得a=-1.所以f'(x)=-1+=,所以f(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减,所以f(x)极大值=f(1)=-1,无极小值.故选A.4.(2018·山东烟台市高考一模)某海上油田A到海岸线(近似直线)的垂直距离为10海里,垂足为B,海岸线上距离B处100海里有一原油厂C,现计划在BC之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍,要使从油田A处到原油厂C修建管道的费用最低,则中转站M到B处的距离应为(B)(A)5海里(B)海里(C)5海里(D)10海里解析:设MB=x海里,在陆地上修建管道每海里费用为a元,则在海上修建管道每海里费用为3a元,修建总费用为y,则y=a(100-x)+3a=a(100-x+3),令f(x)=100-x+3(0
0,所以当x=时,f(x)取得最小值,故而y取得最小值.故选B.5.已知函数f(x)=xln|x|+1,则f(x)的极大值与极小值之和为(D)(A)0(B)1(C)2-(D)2解析:当x>0时,函数f(x)=xlnx+1,则f'(x)=lnx+1,令lnx+1=0解得x=,0时,f'(x)>0,函数是增函数,x=时函数取得极小值1-;当x<0时,函数f(x)=xln(-x)+1,则f'(x)=ln(-x)+1,令ln(-x)+1=0,解得x=-,-0,函数是增函数,x=-时函数取得极大值1+;函数的极值的和为2.故选D.6.(2018·海南八校联考)已知函数f(x)=3lnx-x2+(a-)x在区间(1,3)上有最大值,则实数a的取值范围是(B)(A)(-,5)(B)(-,)(C)(,)(D)(,5)解析:因为f'(x)=-2x+a-,所以由题设f'(x)=-2x+a-在(1,3)上单调递减且只有一个零点,则问题转化为即⇒-0,即g(x)>0.则g'(x)=2m-2cosx,g'(0)=2m-2≥0,解得m≥1.答案:[1,+∞)能力提升(建议用时:25分钟)9.(2018·四川资阳市高考模拟)已知函数f(x)=lnx,它在x=x0处的切线方程为y=kx+b,则k+b的取值范围是(D)(A)(-∞,-1](B)(-∞,0](C)[1,+∞)(D)[0,+∞)解析:函数f(x)=lnx的导数为f'(x)=,则有f'(x0)=,即k=,又由切点的坐标为(x0,lnx0),则切线的方程为y-lnx0=k(x-x0),变形可得y=kx-kx0+lnx0,则有b=lnx0-1.因此k+b=(lnx0-1)+.设g(x)=(lnx-1)+,则有g'(x)=-=,因此在区间(0,1)上,g'(x)<0,g(x)为减函数,在区间(1,+∞)上,g'(x)>0,g(x)为增函数,则g(x)的最小值为g(1)=0,则有k+b=(lnx0-1)+≥0,即k+b的取值范围是[0,+∞);故选D.10.(2018·四川遂宁一诊)设函数f(x)=x2-2ax(a>0)与g(x)=a2lnx+b有...
