2018高考数学异构异模复习考案第十章圆锥曲线与方程10.5.2圆锥曲线的综合应用撬题理1．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若MF1·MF2<0，则y0的取值范围是()A.B.C.D.答案A解析由题意知a2＝2，b2＝1，所以c2＝3，不妨设F1(－，0)，F2(，0)，所以MF1＝(－－x0，－y0)，MF2＝(－x0，－y0)，所以MF1·MF2＝x－3＋y＝3y－1<0，所以－
0，b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－，0)∪(0，)D．(－∞，－)∪(，＋∞)答案A解析如图所示，由题意知BC为双曲线的通径，所以|BC|＝，则|BF|＝.又|AF|＝c－a，因为BD⊥AC，DC⊥AB，所以点D在x轴上，由Rt△BFA∽Rt△DFB，得|BF|2＝|AF|·|FD|，即2＝(c－a)·|FD|，所以|FD|＝，则由题意知0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．解(1)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．(2)四边形OAPB能为平行四边形．因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0，k≠3.由(1)得OM的方程为y＝－x.设点P的横坐标为xP.由得x＝，即xP＝.将点的坐标代入直线l的方程得b＝，因此xM＝.四边形OAPB为平行四边形，当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.于是＝2×，解得k1＝4－，k2＝4＋.因为ki>0，ki≠3，i＝1,2，所以当直线l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边形．5.已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．(1)求实数m的取值范围；(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)．解(1)由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－x＋b.由消去y，得x2－x＋b2－1＝0.因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0，①设M为AB的中点，则M，代入直线方程y＝mx＋解得b＝－.②由①②得m<－或m>.(2)令t＝∈∪，则|AB|＝·，且O到直线AB的距离d＝.设△AOB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AB|·d＝≤，当且仅当t2＝时，等号成立．故△AOB面积的最大值为.6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直2线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．解(1)由题意得解得a2＝2.故椭圆C的方程为＋y2＝1.设M(xM,0)．因为m≠0，所以－1
