核心素养测评十三利用导数研究函数的单调性(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=f(x)=x3-x2+的图象大致是()【解析】选A.因为f(0)=,所以排除C;因为f′(x)=3x2-2x,令f′(x)>0,所以x∈(-∞,0)或x∈时f(x)单调递增,令f′(x)<0,所以x∈时f(x)单调递减,排除B,D.2.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是()A.f(x)=sin2xB.f(x)=xexC.f(x)=x3-xD.f(x)=-x+lnx【解析】选B.对于A,f(x)=sin2x的单调递增区间是(k∈Z);对于B,f′(x)=ex(x+1),当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以函数f(x)=xex在(0,+∞)上为增函数;对于C,f′(x)=3x2-1,令f′(x)>0,得x>或x<-,所以函数f(x)=x3-x在和上单调递增;对于D,f′(x)=-1+=-,令f′(x)>0,得0
0C.a≤0D.a<0【解析】选A.因为f(x)==ax-,所以f′(x)=a+.因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,所以f′(x)=a+≥0在(0,+∞)上恒成立且不恒为零,即a≥-在(0,+∞)上恒成立且不恒为零,所以a≥0.【变式备选】若函数f(x)=kex+x在(0,+∞)上单调递减,则k的范围为()A.k≥-1B.k≤-1C.k≥1D.k≤1【解析】选B.f′(x)=kex+1.由题意得kex+1≤0在(0,+∞)上恒成立,即k≤-,x∈(0,+∞).当x∈(0,+∞)时,-∈(-1,0),所以k≤-1.5.(多选)(2020·济南模拟)定义在(0,+∞)上的函数f的导函数为f′,且f′-f5B.若f=2,x>1,则f>x2+x+C.f-2f<7D.若f=2,0x2+x+【解析】选CD.设函数g=,则g′==,因为f′-fg>g,整理得2f-3f<5,f-2f<7,故A错误,C正确.当0g=,即>,即f>x2+x+.故D正确,从而B不正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf′(x)≥0的解集为________.【解析】由f(x)图象特征可得,在和[2,+∞)上f′(x)≥0,在上f′(x)<0,所以xf′(x)≥0等价于或解得0≤x≤或x≥2,所以xf′(x)≥0的解集为∪[2,+∞).答案:∪[2,+∞)【变式备选】设函数y=f(x),x∈[a,b]其导函数的图象如图所示,则函数y=f(x)的单调递减区间是________.【解析】因为函数y=f(x)的减区间是导函数小于零的区间,由题干图知函数y=f(x)的单调递减区间是(x2,x4).答案:(x2,x4)7.已知函数f(x)=ax+lnx,则当a<0时,f(x)的单调递增区间是________,单调递减区间是________.【解析】由已知得f(x)的定义域为(0,+∞).当a<0时,因为f′(x)=a+=,所以当x>-时,f′(x)<0,当00,所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.答案:8.已知函数f=aex-lnx-1,设x=1是f的极值点,则a=________,f的单调增区间为________.【解析】由题意可得:f′=aex-,因为x=1是f的极值点,所以f′=ae-1=0⇒a=,即f=ex-1-lnx-1⇒f′=ex-1-,令f′>0,可得x>1,所以f的单调递增区间为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图象过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.(1)求a,b的值.(2)求函数f(x)的单调区间.【解析】(1)因为函数f(x)的图象过点P(1,2),所以f(1)=2.所以a+b=1.①又函数图象在点P处的切线斜率为8,所以f′(1)=8.又f′(x)=3x2+2ax+b,所以2a+b=5.②解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3.(2)由(1)得f′(x)=3x2+8x-3,令f′(x)>0,可得x<-3或x>;令f′(x)<0,可得-30得x>-1,由f′(x)<0得x<-1,所以f(x)在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增.②当-0得x-1,由f′(x)<0得ln(-a)0得x<-1或x>ln(-a),由f′(x)<0得-1
