课时限时检测(四十九)椭圆(时间：60分钟满分：80分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．2＜m＜6是方程＋＝1表示椭圆的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.B.C．2D．4【答案】A3．定义：关于x的不等式|x－A|＜B的解集叫A的B邻域．已知a＋b－2的a＋b邻域为区间(－2,8)，其中a、b分别为椭圆＋＝1的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则椭圆的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【答案】B4．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且MF1·MF2＝0，则点M到y轴的距离为()A.B.C.D.【答案】B5．(2013·大纲全国卷)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B6．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【答案】D二、填空题(每小题5分，共15分)7．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为．【答案】＋＝18．已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为．【答案】9．已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是．【答案】m≥1且m≠5三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)如图8－5－2所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．图8－5－2【解】在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2.∴c＝＝1.又∵点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2.①由余弦定理知|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4.②①式两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20.③③－②得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16.∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin30°＝8－4.11．(12分)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，AF＝2FB.(1)求椭圆C的离心率；(2)如果|AB|＝，求椭圆C的方程．【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1＜0，y2＞0.(1)直线l的方程为y＝(x－c)，其中c＝.联立得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0，解得y1＝，y2＝，因为AF＝2FB，所以－y1＝2y2.即＝2·，得离心率e＝＝.(2)因为|AB|＝|y2－y1|，所以·＝.由＝得b＝a.所以a＝，得a＝3，b＝.椭圆C的方程为＋＝1.12．(13分)(2013·北京高考)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形．【解】(1)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB互相垂直平分．所以可设A，代入椭圆方程得＋＝1，即t＝±.所以|AC|＝2.(2)证明：假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.由消去y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则＝－，＝k·＋m＝，所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为－.因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B在W上且不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．
