第6节正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知识梳理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理公式＝＝＝2Ra2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__C常见变形(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝；cosB＝；cosC＝2.S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA
ba≤b解的个数一解两解一解一解无解[微点提醒]1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosAsinB，则A>B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.()解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边.(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(必修5P10A4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝()A.B.C.D.解析在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，由A∈(0，π)，得A＝，即∠BAC＝.答案C3.(必修5P10B2改编)在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________.解析由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.答案等腰三角形或直角三角形4.(2018·沈阳质检)已知△ABC中，A＝，B＝，a＝1，则b等于()A.2B.1C.D.解析由正弦定理＝，得＝，∴＝，∴b＝.答案D5.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A.4B.C.D.2解析由题意得cosC＝2cos2－1＝2×－1＝－.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝52＋12－2×5×1×＝32，所以AB＝4.答案A6.(2019·荆州一模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，cosA＝，sinB＝2sinC，则△ABC的面积是________.解析由sinB＝2sinC，cosA＝，A为△ABC一内角可得b＝2c，sinA＝＝，∴由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得8＝4c2＋c2－3c2，解得c＝2(舍负)，则b＝4.∴S△ABC＝bcsinA＝×2×4×＝.答案考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】(1)(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.(2)(2019·枣庄二模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则A＝()A.B.C.D.(3)(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝()A.B.C.D.解析(1)由正弦定理，得sinB＝＝＝，结合b
