南京师大附中江宁分校2007暑期中美双语夏令营七年级数学讲义分割图形第1课：分割图形学音乐需要乐器和乐谱，做运动需要场地和器材，物理化学生物则需要很好的实验室，学美术需要各种工具或者外出写生，所有这些，都需要借助于一定的外部环境。而学习数学则不需要考虑这些“麻烦”。许多数学家一致认为，一张纸、一支笔，就可以安心做数学了。数学家们在纸上计算或证明，他们的作品就是一条结论、一个图形、一个数字，其中却可以包含万物，极具美感，令人心旷神怡——这也是很多数学“尖子生”常有的感觉，希望每个同学都能努力追求这种境界，唯有如此，你们的数学才有自信。今天我们从几个简单的问题入手，试试自己的数学能力。例1、分割正方形：将一个正方形剪成n个正方形，图1表明n可以等于4.那么，n还可以等于多少呢？图1你可能想到，n=22=4,n=32=9,n=42=16,…n可以取到所有的完全平方数。问题的答案全部在这里了吗？数学家德.摩根说过：“数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥。”我们是不是可以把正方形分割当作一种原生虫的分裂？每一个新的小正方形当然也可以继续分裂下去。如果允许某一个小正方形先分裂呢？这就得到了图2，这时n=4+3=7，每个小正方形分裂一次，n就增加3，因此，n=4,7,10,13,…图2还有答案么？是不是感到意犹未尽？n能否等于6，7，8呢？你是不是自己先想想？图3是6个的情形，图4是8个的情形。图3图4我们可以想象某些正方形可以合成一个大的正方形，那么每4个合成1个就减少3个，因此6=9-3；也可以每9个合成1个则减少8个，因此8=16-8.这样一来，我们可以把一个大正方形如下分裂了：(6,7,8)→(9,10,11)→(12,13,14)→…也就是说n可以取到除了5以外的所有的自然数。练习：(1)用两种不同的方法，将一个正方形分成11个小正方形。(2)用两种或者更多的方法，将一个正方形分成22个小正方形。(3)怎样将一个正方形分成243个正方形？思维缜密的同学可能一直在注意一个问题：n可以等于5吗？该问题稍有难度，我们留作初中再用其他方法研究。解决本题的启发：要有想象力、要善于反思和推广，不能浅尝辄止。数学家沃尔泰拉说：“数学也有惊人的想象，…,阿基米德脑海中的想象远比古希腊大诗人荷马头脑中的想象丰富。”例2、(1)把正三角形分成三个完全一样的部分。一个自然的想法是过中心作对边的垂线段，如图一。事实上，保持OA、OB、OC之间的夹角不变，把“支架”O-ABC旋转任意角度后，也能把图形分成三块一样的部分，如图二。(2)把正方形分成四个完全一样的部分。解答过程同上，我们是把过中心的一对互相垂直的线段作为一个整体，然后旋转，在任意位置都可以得到一个解，如图。(3)把一个正六边形分成完全相同的6部分。利用旋转对称，取经过中心的三条夹60度角的线段，可以对正六边形进行如下的分割。注记:1、以上都是利用直线段对图形的剖分，事实上，可以打破这一常规，而改用曲线，设计出如下的美丽图案。图三图四图一BAOC图二BAOC2、对于一般的正n边形，基于它的旋转对称性，我们也有类似的结论。即：正n边形可以用经过中心的互相夹成角的线条分成n个相同的部分。3、以上是在旋转的意义下对图形做的剖分，但并不排除其他形式的剖分，以正六边形为例，如右图.例3、把下面的图形分为完全相同的两部分。解答:例4、下面的图形都可以看作某种特殊的“细胞”，它们分裂时能同时分裂为全等的4个小细胞，那么它们分别如何分裂？(1)(2)(3)(4)(5)解答：例5、把下面的“斯芬克斯”分成全等的4个小“斯芬克斯”。解答：2212111211121112131112
