第11课时复数的乘法和除法(限时：10分钟)1．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝()A．4＋2iB．2＋iC．2＋2iD．3＋i解析：z1·z2＝(1＋i)·(3－i)＝1×3－i×i＋(3－1)i＝4＋2i，故选A.答案：A2．已知i2＝－1，则i(1－i)＝()A.－iB.＋iC．－－iD．－＋i解析：i(1－i)＝i－i2＝＋i.答案：B3．复数(i为虚数单位)的虚部是()A.iB．－C．－iD.解析：＝＝＝－＋i，其虚部为，故选D.答案：D4．已知a＝，那么a4＝__________.解析：∵a＝＝＝－1＋i，∴a4＝[(－1＋i)2]2＝(－2i)2＝－4.答案：－45．设复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)·z是纯虚数，求.解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)．由|z|＝1，得＝1.由题意，得(3＋4i)·z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(4a＋3b)i是纯虚数，则由解得或∴z＝＋i或z＝－－i.∴＝－i或＝－＋i.(限时：30分钟)1.＝()A．2B．2C.D．1解析：＝＝＝1－i，所以＝|1－i|＝，选C.答案：C2．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为()A．6－4iB．－6－4iC．6＋4iD．－6＋4i解析：(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.答案：D3．在复平面内，复数的对应点位于()A．第一象限B．第二象限1C．第三象限D．第四象限解析：＝＝＝－1＋2i，对应的点的坐标为(－1,2)，所以在第二象限．答案：B4．设a是实数，且∈R，则实数a＝()A．－1B．1C．2D．－2解析：因为∈R，所以不妨设＝x，x∈R，则1＋ai＝(1＋i)x＝x＋xi，所以有所以a＝1.答案：B5．若复数z＝2i＋，其中i是虚数单位，则复数z的模为()A.B.C.D．2解析：由题意，得z＝2i＋＝2i＋＝1＋i，复数z的模|z|＝＝.答案：B6．i是虚数单位，i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2013＝__________.解析：因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＝0(n∈Z)，所以i＋i2＋…＋i2013＝i.答案：i7．已知复数＝1－bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a＋bi|＝__________.解析：由＝1－bi，得2－ai＝i(1－bi)＝i－bi2＝b＋i，所以b＝2，－a＝1，即a＝－1，b＝2，所以|a＋bi|＝|－1＋2i|＝.答案：8．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)2为纯虚数的概率为__________．解析：设掷两颗骰子共有36种结果．因为(m＋ni)2＝m2－n2＋2mni，所以要使复数(m＋ni)2为纯虚数，则有m2－n2＝0，即m＝n，共有6种结果，所以复数(m＋ni)2为纯虚数的概率为＝.答案：9．计算：＋.解析：因为＝＝＝i－1，＝＝＝－i，所以＋＝i－1＋(－i)＝－1.10．已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．(1)求复数z.(2)若w＝，求复数w的模|w|.解析：(1)(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i.因为(1＋3i)·z为纯虚数，所以3－3b＝0，且9＋b≠0，所以b＝1，所以z＝3＋i.(2)w＝＝＝＝－i，所以|w|＝＝.11．设i为虚数单位，复数z和ω满足zω＋2iz－2iw＋1＝0.(1)若z和ω满足－z＝2i，求z和ω的值．(2)求证：如果|z|＝，那么|ω－4i|的值是一个常数．并求这个常数．解析：(1)因为－z＝2i，所以z＝－2i.代入zω＋2iz－2iω＋1＝0，2得(－2i)(ω＋2i)－2iω＋1＝0，所以ω－4iω＋2i＋5＝0.设ω＝x＋yi(x，y∈R)，则上式可变为(x＋yi)(x－yi)－4i(x＋yi)＋2i(x－yi)＋5＝0.所以x2＋y2＋6y＋5－2xi＝0.所以所以或所以ω＝－i，z＝－i或ω＝－5i，z＝3i.(2)由zω＋2iz－2iω＋1＝0，得z(ω＋2i)＝2iω－1，所以|z||ω＋2i|＝|2iω－1|.①设ω＝x＋yi(x，y∈R)，则|ω＋2i|＝|x＋(y＋2)i|＝＝.|2iω－1|＝|－(2y＋1)＋2xi|＝＝.又|z|＝，所以①可化为3(x2＋y2＋4y＋4)＝4x2＋4y2＋4y＋1.所以x2＋y2－8y＝11.所以|ω－4i|＝|x＋(y－4)i|＝＝＝3.所以|ω－4i|的值是常数，且等于3.3
