高中数学2.4圆锥曲线的应用同步精练湘教版选修2-11已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()．A．2B．6C．4D．122P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，且|PF1|＝17，则|PF2|的值是()．A．33B．16C．10D．83探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60cm，灯深是40cm，则光源到反光镜顶点的距离是()．A．11.25cmB．5.625cmC．20cmD．10cm4一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2＝2y(0≤y≤20)，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为()．A．0＜r≤1B．0＜r＜1C．0＜r≤2D．0＜r＜25如图，南北方向的公路l，A地在公路的正东2km处，B地在A地东偏北30°方向2km处，河流沿岸PQ(曲线)上任一点到公路l和到A地距离相等，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向A，B两地转运货物，经测算从M到A，M到B修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是()．A．(2＋)a万元B．2(＋1)a万元C．5a万元D．6a万元6如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管O′P＝1m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2m，P距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为__________m．(精确到1m)7已知椭圆x2＋2y2＝98及点P(0,5)，则点P到椭圆的最大距离与最小距离的和是__________．1参考答案1.解析：由椭圆的定义知椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得△ABC的周长为4a＝4，所以选C．答案：C2.解析：在双曲线－＝1中，a＝8，b＝6，故c＝10.由P是双曲线上一点，得||PF1|－|PF2||＝16.∴|PF2|＝1，或|PF2|＝33.又|PF2|≥c－a＝2，得|PF2|＝33.答案：A3.解析：建立如图所示的坐标系，设y2＝2px(p＞0)，点A(40,30)在抛物线上，代入，得p＝11.25.故|OF|＝＝5.625，故光源到反光镜顶点的距离为＝5.625.答案：B4.解析：设玻璃球球心O′(0，r)，O(x，y)为抛物线上一点，则|OO′|＝＝＝.∵y≥0，∴当y＝0时，距离为最小，故r－1≤0，∴0＜r≤1.答案：A5.解析：建立如图所示坐标系，分别过点M，B，A作直线MM′⊥l，BB′⊥l，AA′⊥l，垂足分别为M′，B′，A′，过点B作BB1⊥AA′，垂足为B1.由已知可得|AB1|＝|AB|·cos30°＝2×＝3.又|AA′|＝2，可得|BB′|＝3＋2＝5.由抛物线定义可得|AM|＝|MM′|.∴修路费用为(|AM|＋|MB|)a＝(|MM′|＋|MB|)a≥|BB′|a＝5a，故应选C．答案：C6.解析：如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，依题意，有P′(1，－1)在此抛物线上，代入得，故得抛物线方程为x2＝－y.2又B在抛物线上，将B(x，－2)代入抛物线方程得，即，则水池半径应为|AB|＋1＝＋1(m)．因此所求水池的直径为2(1＋)≈5m，即水池的直径至少应设计为5m.答案：57.解析一：∵02＋2×52＜98，∴点(0,5)在椭圆内部．设以(0,5)为圆心和椭圆相切的圆的方程为x2＋(y－5)2＝r2.①把椭圆方程：x2＋2y2＝98代入①得r2＝－(y＋5)2＋148(－7≤y≤7)．∴当y＝－5时，rmax2＝148，即rmax＝2，当y＝7时，rmin2＝4，即rmin＝2.故点P到椭圆的最大距离为2，最小距离为2.∴其和为2(1＋)．解析二：设点M(x，y)为椭圆上任一点，则x2＋2y2＝98，可得|PM|＝＝＝＝.又∵－7≤y≤7，∴|PM|max＝＝2(此时y＝－5)，|PM|min＝＝2(此时y＝7)．故点P到椭圆的最大距离为2，最小距离为2.∴其和为2(1＋)．答案：2(1＋)3
