第二讲参数方程一、曲线的参数方程第2课时圆的参数方程[A级基础巩固]一、选择题1．曲线(θ为参数)围成图形的面积等于()A．πB．2πC．3πD．4π答案：D2．圆x2＋(y＋1)2＝2的参数方程为()A.(θ为参数)B.(θ为参数)C.(θ为参数)D.(θ为参数)解析：由x＝cosθ，y＋1＝sinθ知参数方程为(θ为参数)．答案：D3．已知圆O的参数方程是(0≤θ<2π)，圆上点A的坐标是(4，－3)，则参数θ＝()A.B.C.D.解析：由题意(0≤θ<2π)，所以(0≤θ<2π)，解得θ＝.答案：D4．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为()A．36B．6C．26D．25解析：设P(2＋cosα，sinα)，代入得：(2＋cosα－5)2＋(sinα＋4)2＝25＋sin2α＋cos2α－6cosα＋8sinα＝26＋10sin(α－φ).所以最大值为36.答案：A5．直线：3x－4y－9＝0与圆：(θ为参数)的位置关系是()A．相切B．相离C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心解析：圆心坐标为(0，0)，半径为2，显然直线不过圆心，又圆心到直线距离d＝<2.所以直线与圆相交，但不过圆心．答案：D二、填空题6．已知动圆x2＋y2－2axcosθ－2bysinθ＝0(a，b是正常数，且a≠b，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________________．解析：设P(x，y)为动圆的圆心，由x2＋y2－2axcosθ－2bysinθ＝0得：(x－acosθ)2＋(y－bsinθ)2＝a2cos2θ＋b2sin2θ.所以答案：17．已知圆C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1，则直线l和圆C的交点的直角坐标为________．解析：由圆的参数方程知圆心的坐标为(0，1)，半径r＝1，由直线l的极坐标方程可知直线l的方程为y＝1，则根据图象可知直线l和圆C的交点为(－1，1)，(1，1)．答案：(－1，1)，(1，1)8．曲线C：(θ为参数)的普通方程为__________．如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，那么a的取值范围是________．解析：(θ为参数)消参可得x2＋(y＋1)2＝1，利用圆心到直线的距离d≤r得≤1，解得1－≤a≤1＋.答案：x2＋(y＋1)2＝1[1－，1＋]三、解答题9．已知P(x，y)是圆x2＋y2－2y＝0上的动点．(1)求2x＋y的取值范围；(2)若x＋y＋c≥0恒成立，求实数c的取值范围．解：方程x2＋y2－2y＝0变形为x2＋(y－1)2＝1，其参数方程为(θ为参数)．(1)2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1＝sin(θ＋φ)＋1(其中φ由tanφ＝2确定)，所以1－≤2x＋y≤1＋.(2)若x＋y＋c≥0恒成立，即c≥－(cosθ＋sinθ＋1)对一切θ∈R恒成立．因为－(cosθ＋sinθ＋1)的最大值是－1，所以当且仅当c≥－1时，x＋y＋c≥0恒成立．10．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．(2)设D(1＋cost，sint)，由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tant＝，t＝.故D的直角坐标为，即.B级能力提升1．P(x，y)是曲线(α为参数)上任意一点，则P到直线x－y＋4＝0的距离的最小值是________.解析：由P在曲线上可得P的坐标为(2＋cosα，sinα)．由点到直线的距离公式得d＝＝，当cos＝－1时，d最小，dmin＝＝－1＋3.答案：－1＋32．已知直线y＝x与曲线(α为参数)相交于两点A和B，求弦长|AB|.解：由得所以(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径r＝2，2则圆心(1，2)到直线y＝x的距离d＝＝.所以|AB|＝2＝2＝.3．已知圆C：(θ为参数)和直线l(其中t为参数，α为直线l的倾斜角)，(1)当α＝时，求圆上的点到直线l距离的最小值；(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．解：(1)当α＝时，直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，圆C的圆心坐标为(1，0)，圆心到直线的距离d＝＝，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为－1.(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cosα＋sinα)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有解，故Δ＝4(cosα＋sinα)2－12≥0，则sin2≥，即sin≥或sin≤－.又0≤α≤π，故只能sin≥，即≤α＋≤，即≤α≤.故α的取值范围是.3
