第九章平面解析几何第8课时双曲线1.已知双曲线的渐近线为y＝±x，焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为______________________．答案：－＝1解析：由题意可设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由已知条件可得即解得故双曲线方程为－＝1.2.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线过点P，则该双曲线的离心率为________．答案：解析：渐近线y＝x过点P，则＝.又c2＝a2＋b2，∴＝，即e＝.3.(选修11P34习题5改编)若曲线＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是________.答案：(－∞，－4)∪(1，＋∞)解析：(k＋4)(1－k)<0，即(k＋4)(k－1)>0，解得k<－4或k>1.4.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为________________．答案：x2－y2＝2解析：设双曲线方程为x2－y2＝a2，一个焦点(a，0)到一条渐近线x－y＝0的距离为，＝，即a＝.故所求双曲线方程为x2－y2＝2.5.已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b＝________．答案：12解析：双曲线－＝1的渐近线为y＝±2x，则＝2，即b＝2a.又因为c＝，a2＋b2＝c2，所以a＝1，b＝2.6.过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F作圆x2＋y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为PF的中点，则双曲线的离心率为________．答案：解析：设双曲线的右焦点为F′.由于E为PF的中点，坐标原点O为FF′的中点，所以EO∥PF′，又EO⊥PF，所以PF′⊥PF，且PF′＝2×＝a，故PF＝3a，根据勾股定理得FF′＝a.所以双曲线的离心率为＝.7.设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一个公共点，且满足|PF1＋PF2|＝|F1F2|，则＝________．答案：解析：依题意，设PF1＝m，PF2＝n，F1F2＝2c，不妨设m＞n.则由|PF1＋PF2|＝|F1F2|得|PF1＋PF2|＝|PF2－PF1|＝|PF1－PF2|，即|PF1＋PF2|2＝|PF1－PF2|2，所以PF1·PF2＝0，所以m2＋n2＝4c2.又e1＝，e2＝，所以＋＝＝2，所以＝＝.8.已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则PF1·PF2＝________．答案：0解析：由题知b2＝2，故y0＝±＝±1，F1(－2，0)，F2(2，0)，∴PF1·PF2＝(－2－，1)·(2－，1)＝3－4＋1＝0或PF1·PF2＝(－2－，－1)·(2－，－1)＝3－4＋1＝0.9.若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，与双曲线－＝1有相同的渐近线，求此双曲线的标准方程．解：椭圆＋＝1的焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知∴∴所求双曲线方程为－＝1.10.已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1·MF2＝0；(3)对于(2)中的点M，求△F1MF2的面积．(1)解：由题意，可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又双曲线过点(4，－)，解得λ＝6，∴双曲线方程为x2－y2＝6.(2)证明：由(1)可知，a＝b＝，c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，∴MF1＝(－2－3，－m)，MF2＝(2－3，－m),∴MF1·MF2＝m2－3.又点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6,∴m2＝3，∴MF1·MF2＝0.(3)解：S△F1MF2＝|F1F2||m|＝×4×＝6，∴△F1MF2的面积为6.11.设A、B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM＋ON＝tOD，求t的值及点D的坐标．解：(1)由题意知a＝2，故一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0，则＝，得b2＝3，故双曲线的方程为－＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，则得故t＝4，点D的坐标为(4，3)．
