课时作业(五十五)曲线与方程一、选择题1.(2015·长春模拟)设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为()A.-=1B.+=1C.-=1D.+=1答案:D解析: M为AQ垂直平分线上一点,则|AM|=|MQ|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,故M的轨迹为椭圆,∴a=,c=1,则b2=a2-c2=.∴椭圆的标准方程为+=1.2.(2015·廊坊二模)有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A,B,若△ABP为正三角形,则点P的轨迹为()A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线答案:D解析:设P(x,y),动圆P的半径为R,由于△ABP为正三角形,∴P到y轴的距离d=R,即|x|=R.而R=|PF|=,∴|x|=·.整理得(x+3a)2-3y2=12a2,即-=1.∴点P的轨迹为双曲线.3.设x1,x2∈R,常数a>0,定义运算“*”:x1]x*a))的轨迹是()A.圆B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分答案:D解析:令y===, a>0,∴y2=4ax,故应选D.4.(2015·余姚模拟)已知点F,直线l:x=-,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是()A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线答案:D解析:由已知得|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点M的轨迹是以F为焦点,l为准线的抛物线,故选D.5.在△ABC中,A为动点,B,C为定点,B,C(a>0)且满足条件sinC-sinB=sinA,则动点A的轨迹方程是()A.-=1(y≠0)B.-=1(x≠0)C.-=1D.-=1答案:D解析:在△ABC中,由正弦定理,得|AB|-|AC|=|BC|=,∴动点A的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的右支.故应选D.6.(2015·天津津南一模)平面直角坐标系中,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC=λ1OA+λ2OB(O为原点),其中λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1,则点C的轨迹是()A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线答案:A解析:设C(x,y),因为OC=λ1OA+λ2OB,所以(x,y)=λ1(3,1)+λ2(-1,3),即解得又λ1+λ2=1,所以+=1,即x+2y=5,所以点C的轨迹为直线,故选A.二、填空题7.点P(-3,0)是圆C:x2+y2-6x-55=0内一定点,动圆M与已知圆相内切且过点P,则圆心M的轨迹方程为________.答案:+=1解析:已知圆为(x-3)2+y2=64,其圆心为C(3,0),半径为8,由于动圆M过点P,所以|MP|等于动圆的半径r,即|MP|=r,又圆M与已知圆C相内切,所以圆心距等于半径之差即|MC|=8-r,从而有|MC|=8-|MP|,即|MC|+|MP|=8.根据椭圆的定义,动点M到两定点C,P的距离之和为定值8>6=|CP|,所以动点M的轨迹是椭圆,并且2a=8,a=4,2c=6,c=3,所以b2=16-9=7,因此点M的轨迹方程是+=1.8.(2015·成都二模)P是椭圆+=1上的任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,有一动点Q满足OQ=PF1+PF2,则动点Q的轨迹方程是________.答案:+=1解析:由OQ=PF1+PF2,又PF1+PF2=2PO=-2OP,设Q(x,y),则OP=-OQ=,即点P坐标为,又P在椭圆上,则有+=1,即+=1.9.(2014·临汾4月)在△ABC中,|BC|=4,△ABC的内切圆切BC于D点,且|BD|-|CD|=2,则顶点A的轨迹方程为________.答案:-=1(x>)解析:以BC的中点为原点,中垂线为y轴建立如图所示的坐标系,E,F分别为两个切点.则|BE|=|BD|,|CD|=|CF|,|AE|=|AF|.∴|AB|-|AC|=2,∴点A的轨迹为以B,C为焦点的双曲线的右支(y≠0),且a=,c=2,∴b=,∴轨迹方程为-=1(x>).10.如图,设动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2,∠APB=2θ,d1d2sin2θ=,则动点P的轨迹C的方程为________.答案:x2-y2=解析:在△PAB中,|AB|=2,由余弦定理可得22=d+d-2d1d2cos2θ,即4=(d1-d2)2+4d1d2sin2θ,即|d1-d2|==2=,点P的轨迹C是焦点为A,B,实轴长2a=的双曲线,所以所求动点P的轨迹C的方程为x2-y2=.三、解答题11.(2015·鹤壁二模)设椭圆方程为x2+=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A,B,O是坐标原点,l上的动点P满足OP=(OA+OB),点N的坐标为.当l绕点M旋转时,求:(1)动点P的轨迹方程;(2)|NP|的最小值与最大值.解:(1)直线l过点M(0,1),当直线l的斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1....