课时分层作业(二)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)⊥(λa－b)，则λ等于()A．B．－C．±D．1A[ a⊥b，∴a·b＝0， 3a＋2b⊥λa－b，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝0，即3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝.]2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为()A．a2B．a2C．a2D．a2C[AE·AF＝(AB＋AC)·AD＝(AB·AD＋AC·AD)＝＝a2.]3．已知长方体ABCDA1B1C1D1，则下列向量的数量积一定不为0的是()A．AD1·B1CB．BD1·ACC．AB·AD1D．BD1·BCD[对于选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有AD1·B1C＝0；对于选项B，当四边形ABCD为正方形时，AC⊥BD，易得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有BD1·AC＝0；对于选项C，由长方体的性质，可得AB⊥平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有AB·AD1＝0；对于选项D，由长方体的性质，可得BC⊥平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即BD1·BC≠0.故选D.]4．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，向量BA1与向量AC所成的角为()A．60°B．150°C．90°D．120°D[BA1＝BA＋AA1，|BA1|＝a，AC＝AB＋AD，|AC|＝a.∴BA1·AC＝BA·AB＋BA·AD＋AA1·AB＋AA1·AD＝－a2.∴cos〈BA1，AC〉＝＝－.∴〈BA1，AC〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝190°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为()A．B．C．D．B[ AC′＝AB＋BC＋CC′，∴AC′2＝(AB＋BC＋CC′)2＝AB2＋BC2＋CC′2＋2(AB·BC＋AB·CC′＋BC·CC′)＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos60°＋2×3cos60°)＝14＋2×＝23，∴|AC′|＝，即AC′的长为.]二、填空题6．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________.[将|a－b|＝两边平方，得(a－b)2＝7.因为|a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝.又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，故cos〈a，b〉＝.]7．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．60°[AB＝AC＋CD＋DB，∴CD·AB＝CD·(AC＋CD＋DB)＝|CD|2＝1，∴cos〈CD，AB〉＝＝，∴异面直线a，b所成角是60°.]8．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－，－1＋)[由题意知即得λ2＋2λ－2<0.∴－1－<λ<－1＋.]三、解答题9.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设AB＝a，AD＝b，AP＝c.2(1)试用a，b，c表示出向量BM；(2)求BM的长．[解](1) M是PC的中点，∴BM＝(BC＋BP)＝[AD＋(AP－AB)]＝[b＋(c－a)]＝－a＋b＋c.(2)由于AB＝AD＝1，PA＝2，∴|a|＝|b|＝1，|c|＝2，由于AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，∴a·b＝0，a·c＝b·c＝2·1·cos60°＝1，由于BM＝(－a＋b＋c)，|BM|2＝(－a＋b＋c)2＝[a2＋b2＋c2＋2(－a·b－a·c＋b·c)]＝[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝.∴|BM|＝，∴BM的长为.10.如图，已知直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．[解](1)证明：设CA＝a，CB＝b，CC′＝c，根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0.∴CE＝b＋c，A′D＝－c＋b－a.∴CE·A′D＝·＝－c2＋b2＝0，∴CE⊥A′D，即CE⊥A′D.(2) AC′＝－a＋c，∴|AC′|＝|a|，|CE|＝|a|， AC′·CE＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，∴cos〈AC′，CE〉＝＝.3∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.11．(多选题)在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列命题正确的有()A．(AA1＋AD＋AB)2＝3AB2B．A1C·(A1B1－A1A)＝0C．AD1与A1B的夹角为60°D．正方体的体积为|AB·AA1·AD|AB[如图，(AA1＋AD＋AB)2＝(AA1＋A1D1＋D1C1)2＝AC12＝3AB2；A1C·(A1B1－A1A)＝A1C·AB1＝0；AD1与A1B的夹角是D1C与D1A夹角的补角，而D1C与D1A的夹角为60°，故AD1与A1B的夹角为120°；正方体的体积为|AB||AA1||AD...
