课时分层作业(二)(建议用时:40分钟)一、选择题1.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)⊥(λa-b),则λ等于()A.B.-C.±D.1A[ a⊥b,∴a·b=0, 3a+2b⊥λa-b,∴(3a+2b)·(λa-b)=0,即3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=0,∴12λ-18=0,解得λ=.]2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则AE·AF的值为()A.a2B.a2C.a2D.a2C[AE·AF=(AB+AC)·AD=(AB·AD+AC·AD)==a2.]3.已知长方体ABCDA1B1C1D1,则下列向量的数量积一定不为0的是()A.AD1·B1CB.BD1·ACC.AB·AD1D.BD1·BCD[对于选项A,当四边形ADD1A1为正方形时,可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,可得AD1⊥B1C,此时有AD1·B1C=0;对于选项B,当四边形ABCD为正方形时,AC⊥BD,易得AC⊥平面BB1D1D,故有AC⊥BD1,此时有BD1·AC=0;对于选项C,由长方体的性质,可得AB⊥平面ADD1A1,可得AB⊥AD1,此时必有AB·AD1=0;对于选项D,由长方体的性质,可得BC⊥平面CDD1C1,可得BC⊥CD1,△BCD1为直角三角形,∠BCD1为直角,故BC与BD1不可能垂直,即BD1·BC≠0.故选D.]4.在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,向量BA1与向量AC所成的角为()A.60°B.150°C.90°D.120°D[BA1=BA+AA1,|BA1|=a,AC=AB+AD,|AC|=a.∴BA1·AC=BA·AB+BA·AD+AA1·AB+AA1·AD=-a2.∴cos〈BA1,AC〉==-.∴〈BA1,AC〉=120°.]5.如图所示,在平行六面体ABCDA′B′C′D′中,AB=1,AD=2,AA′=3,∠BAD=190°,∠BAA′=∠DAA′=60°,则AC′的长为()A.B.C.D.B[ AC′=AB+BC+CC′,∴AC′2=(AB+BC+CC′)2=AB2+BC2+CC′2+2(AB·BC+AB·CC′+BC·CC′)=12+22+32+2(0+1×3cos60°+2×3cos60°)=14+2×=23,∴|AC′|=,即AC′的长为.]二、填空题6.已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,则cos〈a,b〉=________.[将|a-b|=两边平方,得(a-b)2=7.因为|a|=2,|b|=2,所以a·b=.又a·b=|a||b|cos〈a,b〉,故cos〈a,b〉=.]7.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a,b所成的角是________.60°[AB=AC+CD+DB,∴CD·AB=CD·(AC+CD+DB)=|CD|2=1,∴cos〈CD,AB〉==,∴异面直线a,b所成角是60°.]8.已知|a|=2,|b|=1,〈a,b〉=60°,则使向量a+λb与λa-2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________.(-1-,-1+)[由题意知即得λ2+2λ-2<0.∴-1-<λ<-1+.]三、解答题9.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB、AD的夹角都等于60°,M是PC的中点,设AB=a,AD=b,AP=c.2(1)试用a,b,c表示出向量BM;(2)求BM的长.[解](1) M是PC的中点,∴BM=(BC+BP)=[AD+(AP-AB)]=[b+(c-a)]=-a+b+c.(2)由于AB=AD=1,PA=2,∴|a|=|b|=1,|c|=2,由于AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°,∴a·b=0,a·c=b·c=2·1·cos60°=1,由于BM=(-a+b+c),|BM|2=(-a+b+c)2=[a2+b2+c2+2(-a·b-a·c+b·c)]=[12+12+22+2(0-1+1)]=.∴|BM|=,∴BM的长为.10.如图,已知直三棱柱ABCA′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB′的中点.(1)求证:CE⊥A′D;(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.[解](1)证明:设CA=a,CB=b,CC′=c,根据题意得|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.∴CE=b+c,A′D=-c+b-a.∴CE·A′D=·=-c2+b2=0,∴CE⊥A′D,即CE⊥A′D.(2) AC′=-a+c,∴|AC′|=|a|,|CE|=|a|, AC′·CE=(-a+c)·=c2=|a|2,∴cos〈AC′,CE〉==.3∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.11.(多选题)在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列命题正确的有()A.(AA1+AD+AB)2=3AB2B.A1C·(A1B1-A1A)=0C.AD1与A1B的夹角为60°D.正方体的体积为|AB·AA1·AD|AB[如图,(AA1+AD+AB)2=(AA1+A1D1+D1C1)2=AC12=3AB2;A1C·(A1B1-A1A)=A1C·AB1=0;AD1与A1B的夹角是D1C与D1A夹角的补角,而D1C与D1A的夹角为60°,故AD1与A1B的夹角为120°;正方体的体积为|AB||AA1||AD...