高二数学点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系【本讲主要内容】点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系【知识掌握】【知识点精析】1.点与圆的位置关系设圆C∶（x－a）2＋（y－b）2＝r2，点M（x0，y0）到圆心的距离为d，则有：（1）d＞r点M在圆外；（2）d＝r点M在圆上；（3）d＜r点M在圆内。2.直线与圆的位置关系设圆C∶（x－a）2＋（y－b）2＝r2，直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆心（a，b）到直线l的距离为d，消去y得x的一元二次方程判别式为△，则有：（1）d＜r直线与圆相交；（2）d＝r直线与圆相切；（3）d>r直线与圆相离，即几何特征；或（1）△＞0直线与圆相交；（2）△＝0直线与圆相切；（3）△＜0直线与圆相离，即代数特征。3.圆与圆的位置关系设圆C1：（x－a）2＋（y－b）2＝r2和圆C2：（x－m）2＋（y－n）2＝k2（k≥r），且设两圆圆心距为d，则有：（1）d＝k＋r两圆外切；（2）d＝k－r两圆内切；（3）d＞k＋r两圆外离；（4）d＜k－r两圆内含；（5）k－r＜d＜k＋r两圆相交。4.其他（1）过圆上一点的切线方程：①圆x2＋y2＝r2，圆上一点为（x0，y0），则此点的切线方程为x0x＋y0y＝r2②圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2（2）相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2∶x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋（F1－F2）＝0。（3）圆系方程：①设圆C1∶x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2∶x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ为参数，圆用心爱心专心系中不包括圆C2，λ＝－1为两圆的公共弦所在直线方程）。②设圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ为参数）。【解题方法指导】例1.已知圆与斜率为的直线相切，求这切线的方程和切点坐标。分析：求已知圆的切线问题，基本思路一般有两个方面：（1）从代数特征分析；（2）从几何特征分析。一般来说，从几何特征分析计算量要小些。解：设切线的方程为 圆心O（0，0）到切线的距离为4，即∴所求的切线方程为把这两个切线方程写成及注意到过圆x2＋y2＝r2上的一点P（x0，y0）的切线的方程为x0x＋y0y＝r2，可以看出，切点坐标为（，）及（，）例2.已知实数A、B、C满足A2＋B2＝2C2≠0，求证直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＝1交于不同的两点P、Q，并求弦PQ的长。分析：证明直线与圆相交既可以用代数方法列方程组、消元、证明△＞0，又可以用几何方法证明圆心到直线的距离小于圆半径。证：设圆心O（0，0）到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d，则d＝∴直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＝1相交于两个不同点P、Q。如图，，|OP|=1故例3.求以圆C1∶x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程。用心爱心专心解法一：联立两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0再由联立得两圆点坐标A（－1，2），B（5，6） 所求圆以AB为直径∴圆心是AB的中心点M（2，－2），圆的半径为于是圆的方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝25。解法二：设所求圆的方程为：x2＋y2－12x－2y－13＋λ（x2＋y2＋12x＋16y－25）＝0（λ为参数）得圆心C（，） 圆心C应在公共弦AB所在直线上，解得∴所求圆的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0。点评：解法一体现了求圆的相交弦所在直线方程的方法；解法二采取了圆系方程求待定系数，解法比较简练。【考点突破】【考点指要】关于直线与圆、圆与圆的位置关系的题型出现次数较多，既有选择题、填空题，也有解答题，既考查基础知识的应用能力，又考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。高考比重10—20分。【典型例题分析】例4．（’06海淀1月，7）已知圆C：①若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程。②从圆C外一点P（）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标。解：① 切线在两坐标上的截距相等∴当截...
