高考达标检测（四十）曲线与方程求解3方法——直接法、定义法、代入法一、选择题1．(2017·深圳调研)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且QP·QF＝FP·FQ，则动点P的轨迹方程为()A．x2＝4yB．y2＝3xC．x2＝2yD．y2＝4x解析：选A设点P(x，y)，则Q(x，－1)． QP·QF＝FP·FQ，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹方程为x2＝4y.2．(2016·呼和浩特调研)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：选B设椭圆的右焦点是F2，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＞2c，所以|PF1|＋|PO|＝(|MF1|＋|MF2|)＝a＞c，所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆．3．已知正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，点D，E分别在线段OC，AB上运动，且OD＝BE，设AD与OE交于点G，则点G的轨迹方程是()A．y＝x(1－x)(0≤x≤1)B．x＝y(1－y)(0≤y≤1)C．y＝x2(0≤x≤1)D．y＝1－x2(0≤x≤1)解析：选A设D(0，λ)，E(1,1－λ)，0≤λ≤1，所以线段AD的方程为x＋＝1(0≤x≤1)，线段OE的方程为y＝(1－λ)x(0≤x≤1)，联立方程组(λ为参数)，消去参数λ得点G的轨迹方程为y＝x(1－x)(0≤x≤1)．4．(2016·廊坊二模)有一动圆P恒过定点F(a,0)(a＞0)且与y轴相交于点A，B，若△ABP为正三角形，则圆心P的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线解析：选D设P(x，y)，动圆P的半径为R， △ABP为正三角形，∴P到y轴的距离d＝R，即|x|＝R.而R＝|PF|＝，∴|x|＝·.整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2，即－＝1.∴点P的轨迹为双曲线．故选D.5．(2016·沈阳质检)已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则P点的轨迹方程是()A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0解析：选A设P点的坐标为(x，y)，由|PA|＝3|PO|，得＝3，整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0，故选A.6．(2017·梅州质检)动圆M经过双曲线x2－＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：选B双曲线x2－＝1的左焦点F(－2,0)，动圆M经过F且与直线x＝2相切，则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y2＝－8x.二、填空题7．(2017·聊城一模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0)，B(2,2)，若点C满足OC＝OA＋t(OB－OA)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．解析：设C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＋t(OB－OA)＝(1＋t,2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.答案：y＝2x－28．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．所以抛物线的焦点轨迹方程为＋＝1(y≠0)．答案：＋＝1(y≠0)9．在△ABC中，A为动点，B，C为定点，B，C(a＞0)，且满足条件sinC－sinB＝sinA，则动点A的轨迹方程是________．解析：由正弦定理得－＝×，即|AB|－|AC|＝|BC|，故动点A是以B，C为焦点，为实轴长的双曲线右支．即动点A的轨迹方程为－＝1(x>0且y≠0)．答案：－＝1(x＞0且y≠0)三、解答题10．已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x－y－2＝0相切．(1)求圆的标准方程；(2)设点A为圆上一动点，AN⊥x轴于点N，若动点Q满足OQ＝mOA＋(1－m)ON(其中m为非零常数)，试求动点Q的轨迹方程C2.解：(1)设圆的半径为r，圆心到直线l1的距离为d，则d＝＝2＝r，∴圆C1的方程为x2＋y2＝4.(2)设动点Q(x，y)，A(x0，y0)， AN⊥x轴于点N，∴N(x0,0)，由题意，得(x，y)＝m(x0，y0)＋(1－m)(x0,0)，∴即将A代入x2＋y2＝4，得＋＝1.即动点Q的轨迹方程为＋＝1.11．(2017·唐山统考)已知动点P到直线l：x＝－1的距离等于它到圆C：x2＋y2－4...
