课时提升作业(十一)椭圆方程及性质的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.椭圆+=1中,以点M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为()A.B.C.D.-【解析】选B.设直线与椭圆交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-2,设直线为y=k(x+1)+2,联立得(9+16k2)x2+32k(k+2)x+16(k+2)2-144=0.所以x1+x2=,所以=-2.解得k=.2.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为()A.3B.2C.2D.4【解析】选C.设椭圆方程为+=1(a>b>0),联立得(a2+3b2)y2+8b2y+16b2-a2b2=0,由Δ=0得a2+3b2-16=0,而b2=a2-4代入得a2+3(a2-4)-16=0解得a2=7,所以a=.1所以长轴长为2,选C.【补偿训练】直线l:y=x+a与椭圆+y2=1相切,则a的值为()A.±5B.5C.±D.【解析】选C.用判别式等于零求解.3.若点(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,则的最小值为()A.1B.-1C.-D.以上都不对【解析】选C.表示椭圆上的点(x,y)与定点(2,0)连线的斜率.不妨设=k,则过定点(2,0)的直线方程为y=k(x-2).由得(k2+4)x2-4k2x+4k2-4=0.令Δ=(-4k2)2-4(k2+4)·(4k2-4)=0,得k=±,所以kmin=-,即的最小值为-.4.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选D.由椭圆+=1得,b2x2+a2y2=a2b2,因为过点F的直线与椭圆+=1(a>b>0)交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=-1,则b2+a2=a2b2①,b2+a2=a2b2②,2由①-②得b2(-)+a2(-)=0,化简得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,=,又直线的斜率为k==,即=.因为b2=a2-c2=a2-9,所以=,解得a2=18,b2=9.故椭圆方程为+=1.5.若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆+=1的公共点个数为()A.0B.1C.2D.需根据a,b的取值来确定【解题指南】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆,进而可知点P是椭圆内的点,进而判断可得答案.【解析】选C.因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=>2,所以a2+b2<4,所以点P(a,b)是在以原点为圆心,2为半径的圆内的点,因为椭圆的长半轴为3,短半轴为2,所以圆x2+y2=4内切于椭圆,所以点P是椭圆内的点,所以过点P(a,b)的一条直线与椭圆的公共点个数为2.故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·清远高二检测)若过椭圆+=1内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是.【解析】设弦两端点A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1,两式相减并把x1+x2=4,y1+y2=2代入得,=-,3所以所求直线方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.答案:x+2y-4=07.(2015·安阳高二检测)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为.【解析】据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a>b>0).因为e=,所以=.由△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程为+=1.答案:+=18.(2014·江西高考)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为.【解题指南】中点弦问题运用点差法求解.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2).则即+=0,因为=-,所以a2=2b2,故c2=a2,即e=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m.(1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围.(2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程.【解题指南】求m的取值范围,从方程角度看,需将问题转化为关于x的一元二次方程解的判断,4而求弦最长时的直线方程,就是将弦长表示成关于m的函数,求出当弦长最大时的m值,从而确定直线方程.【解析】(1)由消去y得,5x2+2mx+m2-1=0,因为直线与椭圆有公共点,所以Δ=4m2-20(m2-1)≥0,解得-≤m≤.(2)设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知5x2+2mx+m2-1=0.由根与系数的关系得x1+x2=-m,x1x2=.所以|AB|======.因为Δ=4m2-20(m2-1)>0,所以-
