高二数学曲线和方程知识精讲【学习目标】1．重点理解理解解析几何的基本思想；理解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；理解曲线的方程和方程的曲线的意义．2．重点掌握掌握曲线的方程和方程的曲线的概念及关系；掌握求曲线方程的方法和步骤．3．能力培养培养逻辑思维能力与抽象思维能力，强化数形转换的思想方法．【学习障碍】1．理解障碍（1）曲线和方程相互依存的两个方面的关系，必须同时满足，缺一不可；（2）由曲线和方程的关系可知，曲线与方程是同一运动关系下的两种不同的表现形式，即曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的性质也完全反映在它的曲线上，这也说明了几何问题和代数问题可以互化；（3）求曲线的方程实质上就是这条曲线上任意一点的横纵坐标x和y间的等量关系式；（4）求曲线方程的一般方法是坐标法．2．解题障碍（1）曲线和方程的概念中的关系（1）说明了曲线上的所有点都符合这个条件而毫无例外，它刻画的是外轨迹的纯粹性，关系（2）说明了适合这种条件的点都在曲线上而毫无遗漏，它刻画的是轨迹的完备性，这两种关系必须同时满足，缺一不可．其实质是：曲线C的点集{M|P（M）}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间具有一一对应关系；（2）求曲线的方程时，若原题中没有确定坐标系，要首先选取适当的坐标系，这样可使运算简便，所得方程的形式简单．(3)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．【学习策略】1．判断或证明曲线是某方程的曲线或方程是某曲线的方程时，必须严格按照定义中的两个条件进行验证，缺一不可．2．求曲线方程的一般步骤：（1）建系：建立适当的坐标系，设(x，y)为曲线上任一点M的坐标；一般常取图形的对称中心为原点，对称轴为坐标轴；（2）列式：列出动点所满足的几何条件（此步根据情况，有时可省略）；（3）代入：用坐标表示上述几何条件，得到方程f(x，y)＝0；（4）化简：化方程f(x，y)＝0为最简形式；（5）证明：证明化简后的方程为所求曲线的方程（此步一般不作要求，只对某些特殊点的去留等问题，加以讨论或说明即可．)3．两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、到角及夹角公式等是把形的问题转化为方程问题的重要公式．4．求曲线的交点的问题，就是求曲线的方程所组成的方程组的实数解的问题，方程组有几个实数解，两曲线就有几个交点．【例题分析】［例1］设A（2，0），B（0，2），能不能说线段AB的方程是x＋y－2＝0？为什么？策略：要判断方程x＋y－2＝0是不是线段AB的方程，需根据曲线的方程的定义进行验证，若线段AB上的所有点的坐标都是方程x＋y－2＝0的解，且方程x＋y－2＝0的解为坐标的点都在线段AB上，则线段AB的方程就是x＋y－2＝0，否则不是．解：线段AB的任意一点的坐标都满足方程x＋y－2＝0，因此，它满足条件（1）；但是，以方程x＋y－2＝0的解为坐标的点，如N（－4，6）却不在线段AB上，因此，它不满足条件（2）．所以，方程x＋y－2＝0不是线段AB的方程，线段AB的方程应是x＋y－2＝0(0≤x≤2)．评注：要说明方程是曲线的方程或曲线是方程的曲线，必须严格按照定义验证两个条件，缺一不可．［例2］由原点作曲线y＝x2＋1的割线OP1P2，求弦P1P2中点的轨迹方程．策略：可设M（x，y），怎样找出x与y之间的关系呢？因为M在直线P1P2上，所以x，y都与直线的斜率k有关，因此，我们可以找出x，y之间的关系．解：如图7—6—1所示，设M（x，y）是所求轨迹上任意一点，割线OP1P2的方程为y＝kx代入曲线y＝x2＋1中，得x2－kx＋1＝0(*)因直线与曲线有两个交点，所以方程（*）的判别式Δ>0，即k2－4>0，得k>2，或k<－2．设P1（x1，y1），P2(x2，y2)，则消去k，得y＝． k>2或k<－2，∴x>1或x<－1．∴所求轨迹方程为y＝(x>1或x<－1)．评注：解轨迹问题时，要特别注意讨论轨迹上的点的坐标x，y的取值范围．［例3］长度为定值a的线段，两端点分别在x轴、y轴上移动，求线段中点M的轨迹方程．策略：设M（x，y），由直角三角形性质知|OM|＝，代入坐标化简即可；还可以先设线段AB两端点的坐标为A(xA，0)，B(0，yB)，M(x，y)，再依A、B、M三点坐标关系解题．解法一：如图7—6—2...
