增分强化练(二十一)考点一利用空间向量证明平行与垂直如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.证明： 平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD，∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)．∴PB＝(2,0，－2)，FE＝(0，－1,0)，FG＝(1,1，－1)，设PB＝sFE＋tFG，即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)，∴解得s＝t＝2，∴PB＝2FE＋2FG，又 FE与FG不共线，∴PB，FE与FG共面． PB⊄平面EFG，∴PB∥平面EFG.考点二利用空间向量求空间角1．(2019·滨州模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BC＝BB1，∠B1BC＝60°，B1C1⊥AB1.(1)证明：AB＝AC；(2)若AB⊥AC，且AB1＝BB1，求二面角A1CB1C1的余弦值．解析：(1)证明：取BC的中点O，连结AO，OB1.因为BC＝BB1，∠B1BC＝60°，所以△BCB1是等边三角形，所以B1O⊥BC，又BC∥B1C1，B1C1⊥AB1，所以BC⊥AB1，所以BC⊥平面AOB1，所以BC⊥AO，由三线合一可知△ABC为等腰三角形所以AB＝AC.(2)设AB1＝BB1＝2，则BC＝B1C＝2.因为AB⊥AC，所以AO＝1.又因为OB1＝，所以OB＋AO2＝AB，所以AO⊥OB1.以O为坐标原点，向量OB的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，C(－1,0,0)，A1(－1，，1)，B1(0，，0)，CA1＝(0，，1)，CB1＝(1，，0)．设平面A1B1C的法向量为n＝(x，y，z)，则，即，可取n＝(，－1，)，由(1)可知，平面CB1C1的法向量可取OA＝(0,0,1)，所以cos〈OA，n〉＝＝，由图示可知，二面角A1CB1C1为锐二面角，所以二面角A1CB1C1的余弦值为.2.已知四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝，BC＝2AD＝2，E为CD的中点，PB⊥AE.(1)证明：平面PBD⊥平面ABCD；(2)若PB＝PD，PC与平面ABCD所成的角为，求二面角BPDC的余弦值．解析：(1)证明：由ABCD是直角梯形，AB＝，BC＝2AD＝2，可得DC＝2，∠BCD＝，BD＝2，从而△BCD是等边三角形，∠BDC＝，BD平分∠ADC， E为CD的中点，DE＝AD＝1，∴BD⊥AE，又 PB⊥AE，PB∩BD＝B，∴AE⊥平面PBD， AE⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD.(2)如图，作PO⊥BD于O，连接OC， 平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，∴PO⊥平面ABCD，∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角，∠PCO＝，又 PB＝PD，∴O为BD中点，OC⊥BD，OP＝OC＝，以OB，OC，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，P(0,0，)．PC＝(0，，－)，PD＝(－1,0，－)，设平面PCD的一个法向量n＝(x，y，z)，由得令z＝1得n＝(－，1,1)，又平面PBD的一个法向量为m＝(0,1,0)，设二面角BPDC为θ，则|cosθ|＝＝＝.所求二面角BPDC的余弦值是.考点三立体几何中的探索性问题1．(2019·桂林、崇左模拟)已知四棱锥SABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC＝，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一点．(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；(2)设SA＝AB＝2，是否存在点E使平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30°？如果存在，求出点E的位置，如果不存在，请说明理由．解析：(1)证明： SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD. 四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. AC∩AS＝A，∴BD⊥平面SAC. BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC.(2)当点E为SC的中点时，平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30°，理由如下：设AC与BD的交点为O，以OC、OD所在直线分别为x、y轴，以过O垂直平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系(如图)，则A(－1,0,0)，C(1,0,0)，S(－1,0,2)，B(0，－，0)，D(0，，0)．设E(x,0，z)，则SE＝(x＋1,0，z－2)，EC＝(1－x,0，－z)，设SE＝λEC，∴，∴E，∴DE＝，BD＝(0,2，0)，设平面BDE的法向量n＝(x1，y1，z1)， ，∴.求得n＝(2,0,1－λ)为平面BDE的一个法向量．同理可得平面SAD的一个法向量为m＝(，－1,0)， 平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30°，∴cos30°＝＝＝，解得λ＝1.∴E为SC的中点．2．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，C...
