5.5.1运用算术－几何平均不等式求最大（小）值自我小测1若x＞0，则4x＋的最小值是________．2若正数x，y满足xy2＝4，则x＋2y的最小值为________．3函数y＝4sin2x·cosx的最大值为________，最小值为________．4函数y＝(x＜0)的值域是________．5已知lgx＋lgy＝2，则＋的最小值为________．6已知圆柱的体积V是定值，问圆柱的底半径r和高h各是多少时，圆柱的全面积S最小？并求S的最小值．7已知x＋2y＋3z＝6，则2x＋4y＋8z的最小值为________．8如下图所示，已知圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x，下底面半径与上底面半径之比为λ(0＜λ＜1)的内接圆台．试问：当x为何值时，圆台的体积最大？并求出这个最大的体积．1参考答案1．3解析：∵x＞0，∴4x＋＝2x＋2x＋≥3，当且仅当2x＝，即x＝时等号成立．2．3解析：∵xy2＝4，x＞0，y＞0，∴x＝，∴x＋2y＝＋2y＝＋y＋y≥3＝3.当且仅当x＝y＝时等号成立，此时x＋2y的最小值为3.3．－解析：∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤83＝8×＝，∴y2≤，当且仅当sin2x＝2cos2x，即tanx＝±时取“＝”号．∴ymax＝，ymin＝－.4．[－3，＋∞)解析：∵y＝＝≥＝－3，当且仅当x＝－1时取等号．∴函数的值域为[－3，＋∞)．5．解析：∵lgx＋lgy＝2，∴lg(xy)＝2，xy＝102，∴＋＝≥＝＝.当且仅当x＝y＝10时取等号．6．解：πr2h＝V，S＝2πr2＋2πrh＝2π≥2π·3＝6π·＝3，当且仅当r2＝rh，即h＝2r时取“＝”．即r＝，h＝2时，Smin＝3.7．12解析：∵2x＞0,4y＞0,8z＞0.∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3＝3＝3×4＝12，当且仅当2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝时，取等号．8．解：设内接圆台的上底面半径为r，则下底面半径为λr，由相似三角形的性质，得r＝R(1－)，从而圆台的体积V＝πx(r2＋r×λr＋λ2r2)＝πR2x2×(1＋λ＋λ2)＝πR2H(1＋λ＋λ2)×.由0＜＜1，得1－＞0.又＋＋＝2为定值，∴V≤πR2H(1＋λ＋λ2)×3＝πR2H(1＋λ＋λ2)．当＝1－，即x＝时，等号成立．故当x＝时，圆台的体积最大，最大为πR2H(1＋λ＋λ2)．2
