3.2.2复数代数形式的乘除运算明目标、知重点1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念．1．复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.2．复数乘法的运算律对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z33.共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示．即z＝a＋bi，则＝a－bi.4．复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则＝＝＋i.[情境导学]我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律么？探究点一复数乘除法的运算思考1怎样进行复数的乘法？答两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．思考2复数的乘法与多项式的乘法有何不同？答复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1.例1计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)(3＋4i)(3－4i)；(3)(1＋i)2.解(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i；(2)(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25；(3)(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i.1反思与感悟复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．跟踪训练1计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2.解(1)(2＋i)(2－i)＝4－i2＝4－(－1)＝5；(2)(1＋2i)2＝1＋4i＋(2i)2＝1＋4i＋4i2＝－3＋4i.思考3如何理解复数的除法运算法则？答复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．例2计算：(1)＋；(2)()6＋.解(1)原式＝＋＝＋＝＋＝；(2)方法一原式＝[]6＋＝i6＋＝－1＋i.方法二(技巧解法)原式＝[]6＋＝i6＋＝－1＋i.反思与感悟复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．跟踪训练2计算：(1)；(2).解(1)＝＝＝1－i.(2)＝＝＝－1－3i.探究点二共轭复数及其应用思考1像3＋4i和3－4i这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？答一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数z的共轭复数为.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．思考2复数a＋bi的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？答复数a＋bi的共轭复数可表示为a－bi，由于(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2，所以两个共轭复数之积为实数．思考3共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？答(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．(2)实数的共轭复数是它本身，即z＝⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．(3)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．思考4z·与|z|2和||2有什么关系？答z·＝|z|2＝||2.例3已知复数z满足|z|＝1，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi且|z|＝＝1，即a2＋b2＝1.①因为(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝(3a－4b)＋(3b＋4a)i，而(3＋4i)z是纯虚数，所以3a－4b＝0，且3b＋4a≠0.②由①②联立，解得或所以＝－i，或＝－＋i.反思与感悟本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点．跟踪训练3已知复数z满足：z·＋2iz＝8＋6i，求复数z的实部与虚部的和．2解设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝a2＋b2，∴a2＋b2＋2i(a＋bi)＝8＋6i，即a2＋b2－2b＋2ai＝8＋6i，∴，解得，∴a＋b＝4，∴复数z的实部与虚部的和是4.1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于()A．－iB．iC．－1D．1答案A解析z＝＝－i.2．已知集合M＝{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z等于()A．－2iB．2iC．－4iD．4i答案C解析由M∩N＝{4}得zi＝4，z＝＝－4i.3．复数等于()A．iB．－iC．－－iD．－＋i答案A4．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三...
