正弦定理及其应用(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝45°，B＝75°，c＝3，则a＝()A．2B．2C．2D．32．在△ABC中，R为△ABC外接圆半径，＝＝＝k，则k为()A．2RB．RC．4RD.R3．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边长为()A.B.C.D.4．已知△ABC，不解三角形，下列判断中正确的是()A．a＝7，b＝14，A＝30°，有两解B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解C．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解D．b＝9，c＝10，B＝60°，无解5．在△ABC中，若a2∶b2＝tanA∶tanB，C＜，则△ABC一定是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC中，若＝＝，则△ABC中，最长的边是()A．aB．bC．cD．b或c7．在△ABC中，已知a＝5，c＝10，A＝30°，则B等于()A．105°B．60°C．15°D．105°或15°8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B等于()A．－B.C．－1D．19．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DC＝100米，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB为()A．100米B．50米C．100米D．50米10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cosC＝()A.B．－C．±D.11．在△ABC中，A＝，BC＝3，则△ABC的周长为()A．4sin＋3B．4sin＋3C．6sin＋3D．6sin＋312．在△ABC中，b＝2，B＝45°，若这样的三角形有两个，则边a的取值范围为()A．(2，＋∞)B．(2，3)C．(2，2)D．(2，2)题号1234567891011121答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝60°，则角C的大小为________．14．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，A＝60°，则B＝________．15．在△ABC中，b＝1，a＝2，则角B的取值范围是________．16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a＝1，b＝2，B＝，则cos2C的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC中，已知c＝，b＝，B＝45°，解此三角形．18．(本小题满分12分)在△ABC中，若＝＝，试判断△ABC的形状．19.(本小题满分12分)在△ABC中，已知D为边BC上的一点，BD＝33，sinB＝，cos∠ADC＝，求AD.220．(本小题满分12分)在任意△ABC中，求证：a(sinB－sinC)＋b(sinC－sinA)＋c(sinA－sinB)＝0.21.(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC＝a－c.(1)求角B的大小；(2)若b＝1，求△ABC的周长l的取值范围．322．(本小题满分12分)在锐角△ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，且a＝2bsinA，求cosA＋sinC的取值范围．参考答案与解析1．【解析】选B.由三角形内角和定理可知C＝60°.在△ABC中，由正弦定理得＝，所以a＝＝2.2．【解析】选A.特殊值法，取A＝B＝45°，C＝90°，可知k＝c＝2R.3．【解析】选B.A＝180°－(60°＋45°)＝75°，故最短边长为b，由正弦定理可得＝，则b＝＝＝，故选B.4．【解析】选B.对于A，bsinA＝a＝7，有一解；对于B，a＞b，有一解；对于C，bsinA＝＞a＝6，无解；对于D，csinB＜b＜c，有两解．故选B.5．【解析】选B.由正弦定理得a2∶b2＝sin2A∶sin2B＝tanA∶tanB，即sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，从而得2A＝2B或2A＝π－2B，又C＝π－(A＋B)＜，即A＋B＞，则A＝B，即△ABC为等腰三角形，故选B.6．【解析】选A.因为＝＝，所以sinB＝cosB，sinC＝cosC，所以tanB＝1，tanC＝1，所以B＝C＝45°，A＝90°，边a最长．7．【解析】选D.由正弦定理＝，得＝，所以sinC＝.因为a
