2.2等差数列1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第____________项起，每一项与它的前一项的差等于____________常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的____________，公差通常用字母d表示．2．等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的____________．3．等差数列的通项公式以1a为首项，d为公差的等差数列{}na的通项公式为na____________．4．等差数列与一次函数由等差数列的通项公式na____________，可得1()nadnad．当0d时，等号右边是关于自变量n的一次整式，一次项系数是等差数列的____________，且当0d时数列{}na为递增数列，当0d时数列{}na为递减数列；当0d时，1naa，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点．从图象上看（如下图），表示数列{}na的各点，即点(,)nna，均匀分布在一条直线上．K知识参考答案：1．2同一个公差2．等差中项3．1(1)and4．1(1)and公差1K—重点等差数列的定义、通项公式、性质的理解与简单应用K—难点灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题K—易错对等差数列的定义理解不深刻、忽略等差数列问题中的隐含条件判断一个数列是否为等差数列判断一个数列是否为等差数列的常用方法：（1）定义法：1()nnaadn*N或1(2,)nnaadnn*N{}na是等差数列；（2）定义变形法：验证是否满足11(2,)nnnnaaaann*N；（3）等差中项法：122(){}nnnnaaana*N为等差数列；（4）通项公式法：通项公式形如(,napnqpq为常数){}na为等差数列．（1）已知数列{}na的通项公式为33nan，证明：数列{}na为等差数列；（2）已知数列{}na的通项公式为2,122,2nnann，判断该数列是否为等差数列；（3）若数列{}na满足112(1)(2)nnnananaan，证明：{}na为等差数列；（4）若111,,abc成等差数列，证明：,,bcacababc成等差数列．【答案】见解析．【解析】（1）因为33nan，所以133(1)3nann，所以13(33)3nnaann，所以{}na为等差数列．（2）当2n时，1=2nnaa，即数列从第3项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，但2132=0=2aaaa，，即2132aaaa，所以该数列不是等差数列．2（3）由112(1)nnnananaa，将n替换为1n得1112(1)nnnananaa，两式相减并整理得11(1)=2(1)(1)(2)nnnnananan，由2n可得11(2)nnnnaaaan，由等差数列的定义可知，{}na为等差数列．（4）因为111,,abc成等差数列，所以211=bac，即2()acbac．又22222()22()2()()bcabacbacacacacacacacacbacb，所以,,bcacababc成等差数列．【名师点睛】（1）通项公式法不能作为证明方法；（2）若数列的前有限项成等差数列，则该数列未必是等差数列；（3）要否定某数列是等差数列，说明其中连续三项不成等差数列即可．求等差数列的通项公式求等差数列的通项公式的两种思路：（1）设出基本量1a，d，利用条件构建方程组，求出1a，d，即可写出等差数列na的通项公式；（2）已知等差数列中的两项,(,,)nmaanmnm*N时，则11(1)(1)nmaandaamd()mnnmaadmnaanmd，可不必求1a而直接写出等差数列{}na的通项公式．（1）在等差数列{}na中，若1a+69a，47a，则na_____________；（2）在等差数列{}na中，若381324aaa，3813312aaa，则na_____________；3（3）已知单调递减的等差数列{}na的前三项之和为12，前三项之积为48，则na_____________．【答案】（1）513n；（2）n或16n；（3）82n．【解析】（1）因为{}na是等差数列，所以由1a+69a，47a可得1125937adad，解得185ad，所以8(1)5513nann．（2）方法1：设{}na的首项为1a，公差为d，则由381324aaa，可得178ad，即187ad，由3813312aaa整理可得85)885)312dd（（，解得1d，当1d...
