高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 2.3.3 空间向量运算的坐标表示课后训练案巩固提升（含解析）北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

3.3空间向量运算的坐标表示课后训练案巩固提升A组1.已知a=(1,-5,6),b=(0,6,5),则a与b()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向解析:0+(-5)×6+6×5=0,故a⊥b.答案:A2.下列各组向量中,不平行的是()A.a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4)B.c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)D.g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)解析:选项A中,b=-2a,所以a∥b;选项B中,d=-3c,所以c∥d;选项C中,0与任何向量平行.答案:D3.已知向量a=(1,3,3),b=(5,0,1),则|a-b|等于()A.7B.C.3D.解析:|a-b|=|(1,3,3)-(5,0,1)|=|(-4,3,2)|=.答案:B4.若向量a=(1,λ,2),b=(-2,1,1),a,b夹角的余弦值为,则λ=()A.1B.-1C.±1D.2解析:∵a=(1,λ,2),b=(-2,1,1),a,b夹角的余弦值为,又a·b=|a||b|·cos,∴-2+λ+2=.∴λ=±1.∵a·b=λ>0,∴λ=1.答案:A5.已知三个力F1=(1,2,1),F2=(-1,-2,3),F3=(2,2,-1),则这三个力的合力的坐标为()A.(2,2,3)B.(0,0,0)C.D.0解析:F1+F2+F3=(1,2,1)+(-1,-2,3)+(2,2,-1)=(2,2,3).答案:A6.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形解析:=(5,1,-7),=(2,-3,1).1因为=2×5-3×1-7×1=0,所以.所以∠ACB=90°.又因为||=5,||=,即||≠||,所以△ABC为直角三角形.答案:C7.已知向量a=(4-2m,m-1,m-1)与b=(4,2-2m,2-2m)平行,则m的值等于.解析:当m=1时,a=(2,0,0),b=(4,0,0),显然满足a∥b;当m≠1时,则依a∥b则有=-,解得m=3.综上可知m=1或m=3.答案:1或38.导学号90074033若=(-4,6,-1),=(4,3,-2),|a|=1,且a⊥,a⊥,则a=.解析:设a=(x,y,z),则有解此方程组得答案:9.已知向量a=(1,-3,2),b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2a+b|.(2)在直线AB上是否存在一点E,使⊥b(O为原点)?若存在,求出点E坐标;若不存在,说明理由.解(1)∵2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),∴|2a+b|==5.(2)假设存在这样的点E,则+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t).若⊥b,则·b=0,即-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,故存在点E,使⊥b,此时E点坐标为.10.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;2(2)a+c与b+c所成角的余弦值.解(1)∵a∥b,∴,解得x=2,y=-4,故a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又b⊥c,∴b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,故c=(3,-2,2).(2)由(1)可得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),设向量a+c与b+c所成的角为θ,则cosθ==-.B组1.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E为CC1的中点,则向量所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析:建立坐标系如图,则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2).所以=(-1,0,2),=(-1,2,1),故cos<>=.所以向量所成角的余弦值为.答案:B2.已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,则x,y的值分别为.解析:由题意知a∥b,所以,即3把①代入②得x2+x-2=0,(x+2)(x-1)=0,解得x=-2,或x=1,当x=-2时,y=-6;当x=1时,y=3.当时,b=(-2,-4,-6)=-2a,两向量a,b反向,不符合题意,所以舍去.当时,b=(1,2,3)=a,a与b同向,所以答案:1,33.已知向量a=(0,-1,1),b=(2,2,1),计算:(1)|2a-b|;(2)cos􀎮a,b􀎮;(3)2a-b在a上的投影.解(1)∵a=(0,-1,1),b=(2,2,1),∴2a-b=2(0,-1,1)-(2,2,1)=(-2,-4,1),∴|2a-b|=.(2)∵a=(0,-1,1),b=(2,2,1),∴a·b=(0,-1,1)·(2,2,1)=-2+1=-1,|a|=,|b|==3,∴cos􀎮a,b􀎮==-.(3)∵(2a-b)·a=(-2,-4,1)·(0,-1,1)=5,∴2a-b在a上的投影为.4.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),求以为邻边的平行四边形面积.解∵A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),∴=(-2,1,6)-(0,2,3)=(-2,-1,3),=(1,-1,5)-(0,2,3)=(1,-3,2).∴||=,||=,4=(-2,-1,3)·(1,-3,2)=-2+3+6=7.∴cos<>=,∴sin<>=.以为邻边的平行四边形的面积S=||||sin<>=7.5.已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.(1)若|c|=3,c∥,求c;(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.解(1)∵=(-3,0,4)-(-1,1,2)=(-2,-1,2)且c∥,∴设c=λ=λ(-2,-1,2)=(-2λ,-λ,2λ).∴|c|==3|λ|=3.解得λ=±1,∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2).(2)∵a==(-1,1,2)-(-2,0,2)=(1,1,0),b==(-3,0,4)-(-2,0,2)=(-1,0,2),∴ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2),ka-2b=k(1,1,0)-2(-1,0,2)=(k+2,k,-4).∵(ka+b)⊥(ka-2b),∴(ka+b)·(ka-2b)=0,即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k-10=0.解得k=2或k=-.6.导学号90074034在Rt△ABC中,AC=BC=1,∠BCA=90°.现将△ABC沿着与平面ABC的垂直的方向平移到△A1B1C1的位置,已知AA1=2,分别取A1B1,A1A的中点P,Q.(1)求的模;(2)求cos􀎮􀎮,cos􀎮􀎮,并比较􀎮􀎮与􀎮􀎮的大小;(3)求证:AB1⊥C1P.解以C为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则由已知得C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),C'(0,0,2),P,Q(1,0,1),B1(0,1,2),A1(1,0,2),5则=(1,-1,1),=(0,1,2),=(1,-1,2),=(-1,1,2),.(1)||=.(2)∵=0-1+2=1,||=,||=,∴cos􀎮􀎮=.又∵=0-1+4=3,,||=,∴cos􀎮􀎮=.∵0<<1,∴􀎮􀎮∈,􀎮􀎮∈.又y=cosx在内递减,∴􀎮􀎮>􀎮􀎮.(3)证明:∵=(-1,1,2)·=0,∴,即AB1⊥C1P.67