3.3利用导数研究函数的极值、最值核心考点·精准研析考点一用导数解决函数的极值问题命题精解读考什么:(1)考查求值、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养及数形结合、分类与整合等数学思想.怎么考:与函数图象、方程、不等式、函数单调性等知识结合考查求函数极值、知函数极值求参数等问题.新趋势:函数极值、导数的几何意义及函数图象等知识交汇考查为主学霸好方法1.求函数f(x)极值的一般解题步骤(1)确定函数的定义域;(2)求导数f′(x);(3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.2.已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.由图象判断函数的极值【典例】(2020·咸阳模拟)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则=________.【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c;根据图象知,x=-1,2是f(x)的两个极值点;所以x=-1,2是方程3ax2+2bx+c=0的两实数根;根据根与系数的关系得,所以2b=-3a,c=-6a,所以===1.答案:1由函数f(x)的图象确定极值点的主要依据是什么?提示:局部最高(低)点的横坐标是极大(小)值点.求已知函数的极值【典例】已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值.(2)求函数f(x)的极值.【解析】(1)由f(x)=x-1+,得f′(x)=1-.又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,所以f′(1)=0,即1-=0,解得a=e.(2)f′(x)=1-,当a≤0时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值.当a>0时,令f′(x)=0,得ex=a,即x=lna,当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,故f(x)在x=lna处取得极小值且极小值为f(lna)=lna,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,f(x)在lna处得极小值lna,无极大值.若函数f(x)在区间[a,b]内有极值,则极值点有可能是a或b吗?f(x)在(a,b)内可以是单调函数吗?提示:若函数y=f(x)在区间[a,b]内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值,且极值点一定不是a和b.已知函数极值情况求参数值(范围)【典例】设a∈R,若函数y=x+alnx在区间上有极值点,则a的取值范围为()A.B.C.∪(e,+∞)D.(-∞,-e)∪【解析】选B.因为函数y=f(x)=x+alnx在区间上有极值点,所以y′在区间上有零点.f′(x)=1+=(x>0).所以f′·f′(e)<0,所以(ea+1)<0,解得-e
3,此时f′(x)>0;当-22时,1-x<-1,此时f′(x)>0,由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.2.设函数f(x)=lnx+ax2-x,若x=1是函数f(x)的极大值点,则函数f(x)的极小值为________.【解析】函数f(x)=lnx+ax2-x,函数定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax-.若x=1是函数f(x)的极大值点,则f′(1)=0,解得a=;所以f(x)=lnx+x2-x,f′(x)=+x-==;当f′(x)>0时,02;函数在(0,1)和(2,+∞)上单调递增;当f′(x)<0时,1
