第07天导数几何意义的实际应用高考频度：★☆☆☆☆难易程度：★★☆☆☆典例在线“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系式为h(t)=-4.9t2+14.7t，求烟花在t=2s时的瞬时速度，并解释烟花升空后的运动状况.【参考答案】见试题解析.画出二次函数h(t)=-4.9t2+14.7t(t≥0,h≥0)的函数图象,如图,结合导数的几何意义,我们可以看出:在t=1.5s附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最高点并爆裂;在0~1.5s之间,曲线在任何点处的切线斜率都大于0且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空;在1.5~3s,曲线在任何点处的切线斜率都小于0且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下降,直到落地.【名师点睛】1．若函数()yfx在0xx处的导数存在且0()0fx（即切线的斜率大于零），则函数()yfx在0xx附近的图象是上升的；若0()0fx（即切线的斜率小于零），则函数()yfx在0xx附近的图象是下降的.导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的快慢.12．导数的几何意义是曲线的切线的斜率.反之，在曲线上取确定的点，作曲线的切线，则可以根据切线斜率的符号及绝对值的大小来确定曲线的升降情况及升降的快慢程度.3．函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.因此，研究复杂的函数问题，可以考虑通过研究其图象的切线来了解函数的性质.学霸推荐1．如图，点A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x≥0),过点E作OB的垂线l.记AOB△在直线l左侧部分的面积为S,则函数S=f(x)的图象为下图中的2．某斜坡在某段内的倾斜程度可以近似地用函数y=-x2+4x(≤x≤2)来刻画,试分析该段斜坡坡度的变化情况.1．【答案】D【解析】函数的定义域为[0,+∞),当x∈[0,2]时,在单位长度改变量Δx内面积改变量ΔS越来越大,即斜率f'(x)在[0,2]内越来越大,因此,函数S=f(x)的图象是上升的,且图象是下凸的;当x∈(2,3)时,在单位长度改变量Δx内面积改变量ΔS越来越小,即斜率f'(x)在(2,3)内越来越小,因此,函数S=f(x)的图象是上升的,且图象是上凸的;2当x∈[3,+∞)时,在单位长度改变量Δx内面积改变量ΔS为0,即斜率f'(x)在[3,+∞)内为常数0,此时,函数图象为平行于x轴的射线.34
