计时双基练三十七基本不等式A组基础必做1．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有()A．最大值0B．最小值0C．最大值－4D．最小值－4解析 x<0，∴f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号。答案C2．下列不等式一定成立的是()A．lg>lgx(x>0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)解析对选项A，当x>0时，x2＋－x＝2≥0，即lg≥lgx，故不成立；对选项B，当sinx<0时显然不成立；对选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；对选项D， x2＋1≥1，∴0≤≤1，故不成立。答案C3．已知00。∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝。当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号。答案B4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋B．1＋C．3D．4解析f(x)＝x＋＝x－2＋＋2。 x>2，∴x－2>0。∴f(x)＝x－2＋＋2≥2＋2＝4。当且仅当x－2＝，即x＝3时，“＝”成立。又f(x)在x＝a处取最小值。∴a＝3。答案C5．函数y＝(x>1)的最小值是()A．2＋2B．2－2C．2D．2解析 x>1，∴x－1>0。∴y＝＝＝＝＝x－1＋＋2≥2＋2＝2＋2。当且仅当x－1＝，即x＝1＋时取等号。答案A6．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．8解析(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，∴当1＋a＋2≥9时不等式恒成立，故＋1≥3，a≥4。答案B7．已知＋＝1(x>0，y>0)，则x＋y的最小值为________。解析 x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)·＝4＋2≥4＋4＝8。当且仅当＝，即x＝y＝4时取等号。答案88．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处。解析设x为仓库与车站距离，由已知y1＝，y2＝0.8x。费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8，当且仅当0.8x＝，即x＝5时“＝”成立。答案59．(2016·南昌模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________。解析由已知，得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤2，令x＋3y＝t，则t2＋12t－108≥0，又 t>0，解得t≥6，即x＋3y≥6。答案610．已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1。求证：＋＋≥9。证明 a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号。11．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20。求：(1)u＝lgx＋lgy的最大值；(2)＋的最小值。解(1) x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2。 2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，取等号。因此有解得此时xy有最大值10。∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1。∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1。(2) x>0，y>0，∴＋＝·＝≥＝，当且仅当＝时，取等号。由解得∴＋的最小值为。B组培优演练1．设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是()A．4B.C．8D．9解析 AB＝OB－OA＝(a－1,1)，AC＝OC－OA＝(－b－1,2)，若A，B，C三点共线，则有AB∥AC，∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0。∴2a＋b＝1。又 a>0，b>0，∴＋＝·(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当即a＝b＝时取等号。故选D。答案D2．已知00，a＋b＝5，则＋的最大值为________。解析因为a，b>0，a＋b＝5，所以(a＋1)＋(b＋3)＝9。令x＝a＋1，y＝b＋3，则x＋y＝9(x>1，y>3)，于是＋＝＋，而(＋)2＝x＋y＋2≤x＋y＋(x＋y)＝18，所以＋≤3，此时x＝y，即a＋1＝b＋3，结合a＋b＝5可得a＝3.5，b＝1.5，故当a＝3.5，b＝1.5时，＋的最大值为3。答案34．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的...
