函数单调性问题的求解策略 专题辅导 不分版本 试题VIP免费

函数单调性问题的求解策略周贤才李小花函数的单调性是函数的一个极其重要的性质，在高三的复习中经常会碰到有关函数单调性求解的问题。下面通过例子来说明此类问题的求解思路。一.掌握几种常见函数的单调性，会求复合函数的单调区间复习过程中要熟练掌握几种常见函数（如一次函数、二次函数、反比例函数、指、对数函数及三角函数）的单调性，并能利用复合函数单调性的性质求解复合函数的单调性问题。例1.（1989年高考）已知，如果，那么（）A.在区间（-1，0）上是减函数B.在区间（0，1）上是减函数C.在区间（-2，0）上是增函数D.在区间（0，2）上是增函数解：函数是由和复合而成的。又在上递减，在上递增；上为减函数，在上为增函数。当时，得当时，得或由此可得，函数在或时为减函数函数在或时，为增函数故选（A）解题回顾：本题是有关二次函数的复合函数确定单调区间问题，要求会利用复合函数的单调性来研究简单复合函数的单调性的问题。复合函数单调性的判定法则是，若与同是增（减）函数，则在其定义域上是增函数；若是一增一减函数，则在其定义域上是减函数。上述法则可简述为：同增异减。二.利用函数的图象求解例2.指出函数的单调区间。解：作出函数的图象。根据图象可得，函数在以及上为增函数；在以及上为减函数图1三.利用函数单调性的定义例3.求函数在上的单调区间。解：任取，则因为所以若函数为增函数，则所以因为所以，故同理，若为减函数，则因此，当时，函数为增函数当时，函数为减函数解题回顾：从定义出发，利用定义解题是数学解题的一个基本出发点。本题从函数单调性的定义出发，把求字母a的取值范围的问题，转化为恒成立的问题来加以求解，同时得出了很重要的分式函数的单调区间。利用此结论，我们可以研究此类分式函数在某个区间上的最值问题。四.利用导数求解例4.已知函数在上为单调增函数，求a的取值范围。解：因为在上为单调增函数所以在上恒成立即恒成立即恒成立因为，所以说明：导数是高中数学和高等数学的连接点，是高中教材新增加的内容，许多高次函数、分式函数以及无理函数的单调区间和最值问题的研究都离不开导数，因此不可忽视导数在函数中的作用。例1若用导数解则更简便，由得函数的增区间为及；由得减区间为及。很快就能确定答案为（A）。由此可以看出，导数在单调区间的求解方面有着很大的优势。例5.已知函数在区间上是减函数，求实数a的取值范围。解法1：利用例3中的结论。函数在上为减函数，在上为增函数。由题知，该函数在上是减函数所以，得解法2：利用函数的单调性的定义。任取，则因为所以且因为在上为增函数所以恒成立所以恒成立因为，所以，得解法3：利用导数因为所以因为在上为减函数，所以对恒成立即对恒成立因为当时，所以说明：本题从三个不同角度对问题作出了解答，不同的方法各有巧妙，突出了不同知识在解题中的作用。通过此问题的求解可加强各知识间的联系，提高对所学知识的全面认识。例6.（2003年新课程高考理）设，求函数的单调区间。解：求导数得：当时（1）当时，对所有，有即此时在内单调递增（2）当，对，有即此时在（0，1）内单调递增，在内单调递增又知函数在处连续，因此，函数在内单调递增（3）当时，令即解得或因此，函数在区间内单调递增在区间内也单调递增令，即解得因此，函数在区间内单调递减解题回顾：本题主要考查导数在求函数单调区间方面的应用，对求导公式及复合函数的求导有一定的要求，对考生分类讨论思想和等价转换思想有较高要求。