初三数学圆中的计算问题全章复习一.本周教学内容:1.圆中的计算问题2.全章复习二.重点、难点:重点:1.弧长公式、扇形面积公式的应用。2.圆柱、圆锥侧面积、全面积的应用。3.圆的认识、与圆有关的位置关系复习。难点:1.添加辅助线的规律。2.数学思想、方法渗透。3.最新中考题题型及解题方法剖析。一.圆中的计算问题例1.一个小孩荡秋千,如图1所示,秋千链子的长OA为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角∠BOD恰好为60°,并且两边摆动角度相同。求:(1)秋千摆至最高位置时与其摆到最低位置时的高度之差;(2)秋千从B点摆到至D点所走过的路程(结果都精确到0.01m)。(2004年新疆乌鲁木齐中考题)解析:由实例可抽象出如图2的扇形,从而(1)可用垂径定理解答。而第(2)问即是求的弧长,可用弧长公式求解。答案:(1)如图2,连接BD交OA于点C于是∠BOA=∠DOA=30°,AO⊥BD在Rt△OCD中,答:(1)最高点与最低点的高度差约0.33米,(2)从B摆到D所走过的路程约为2.62米。例2.若一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍,且它们的面积相等,则这个扇形的圆心角为____________度。解析:设圆的半径为r则扇形的半径为3r,圆的面积为,扇形的面积为。于是,所以n=40,即圆心角为40o。答案:40例3.如图所示,已知扇形AOB的圆心角为直角,若OA=4cm,以AB为直径作半圆,求图中阴影部分的面积。解析:欲求图形中阴影部分的面积,必须分析阴影部分的面积的组成是否有直接的公式计算,如果是不规则的图形,则应分割为可求图形面积的和或差或倍数来解决。图中阴影部分面积等于以AB为直径的半圆面积减去弓形AmB的面积,其弓形面积。答案:因为OA=4cm,∠O=90°,OB=4cm所以又AB=(cm)所以而故例4.一个圆锥的高是10cm,侧面展开图是半圆,求圆锥的侧面积。解析:画出如图的示意图,欲求圆锥的侧面积,即求母线长L,底面圆半径。由圆锥定义可知,圆锥的高、母线和底面圆半径构成直角三角形即Rt△SOA,且SO=10,SA=L,OA=r,可找到L与r的关系。再由侧面展开图是半圆,可得关系,即L=2r。答案:设圆锥底面圆半径为r,扇形弧长为C,母线长为L。由题意,得,又,所以,即L=2r。①在Rt△SOA中,。②由①、②解得,故所求圆锥侧面积为例5.如图所示,一个圆柱体的高为20厘米,底面半径为6.7cm,在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁,想吃到与A点相对的上底面B点的一颗砂糖,这只蚂蚁从A点出发,沿着圆柱形的曲面爬到B点,最短路线多长(精确到0.1cm)?解析:蚂蚁的爬行路线我们难以想像,但当我们将圆柱的侧面展开后,得到一个矩形,由两点间距离最短,易得结论。答案:圆柱的侧面展开图为矩形AMNP。如图,从A到B的最短路线,即是从A到NP的中点间的距离的长。在中,AP=20cm由勾股定理得答:最短路线长为29.0cm。二.全章复习例1.(2003年黑龙江中考题)如图,⊙O的直径为10cm,弦AB=8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数,则满足条件的点P有()A.2个B.3个C.4个D.5个解析:过点O作OD⊥AB于D,由垂径定理,有,连结OB,在Rt△BOD中,,所以OP只能为3、4、5三个数,再由P点的位置知,这样的点有5个。答案:D例2.(2002年呼和浩特中考题)如图,AB是⊙O的直径,弦AC、BD相交于点P,则等于()A.sinBPCB.cosBPCC.tanBPCD.cotBPC解析:连结BC,因为AB是⊙O的直径,所以∠ACB=90°,由∠A=∠D,∠ABP=∠DCP,得△ABP∽△DCP,故。答案:B例3.(2003年浙江金华市、衢州市中考题)如图,⊙、⊙交于A、B两点,点在⊙上,两圆的连心线交⊙于E、D,交⊙于F,交AB于点C。请根据图中所给出的已知条件(不再标注其他字母,不再添加任何辅助线),写出两个线段间的关系式:(1)____________;(2)_________________。(半径相等除外)解析:由圆的轴对称性知:AC=BC;由是直径,∠=90°,而AC⊥,易得△∽△FAC∽△,故可得,,等。答案:如AC=BC,,,等。例4.(2004年湖北武汉市中考题)如图所示,AC为⊙O的直径,PA是⊙O的切线,切点为A,PBC是⊙O的割线,∠BAC的平分线交BC于D,PF交AC于F,交AB于E,要使AE=AF,则PF应满足的条件是_____________(只需填一个条件)。解析:若AE=AF,则△AEF为等腰三角形。又因AD平分∠EAF,...