向量中一个有用的结论题：如图所示，D分的比为，试用，向量来表示。解：由题有：，又求得故观察可以发现，的系数与的系数之和可以证明：若，则D点在BC上。（证明过程略）结论：如图所示，D分的比为，则；反过来，若，则D点在BC上，且D分的比为。例题：1．如图△ABC中，AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，BN与CM交于点E，=，=，用、表示。分析：欲求，由结论课知，只需知道则、、NE与EB的比，而可用表示出来，现在的问题就转化为求NE与EB的比。过N作AB的平行线交MC于D，所以DN：AM＝3：4，而AM：AB=1：3，从而可得DN：BM＝NE：EN=3：8所以2．M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，若=，=，则=____（M点靠近B点）。分析：=，即，解得：3．在中，，，M为OB的中点，辚AB的中点，P为ON、AM交点，（）DCBADCBAPNMOABBMEACND图A．B．C．D．分析：利用结论分析可知，只需求出OP：PN的比即可，由于P点是两条中线的交点，则P为的重心，则OP：PN=2：1。故，所以选B4．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，AP交BC于D，试用向量，来表示分析：，，代入上式，整理得：，由于与共线，则得：，由结论可知所以5．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：，则P为的（）Ａ外心Ｂ内心C重心D垂心分析：，，代入上式，整理得：，设D点为AP与BC的交点，由于与共线，则得：，由结论可知所以，且AD为BC的中线。同理可证，BP为AC边上的中线，则P为三角形ABC的重心。
