阅读与思考海伦和秦九韶VIP免费

《阅读与思考·海伦和秦九韶》张琼珍云南省祥云县第一中学2019年7月23日一、三角形中的公式、定理内角和定理：CBA正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin余弦定理：Abccbacos2222Bcaacbcos2222Cabbaccos2222bcacbA2cos222cabacB2cos222abcbaC2cos222面积公式：21ABCS×底×高BcaAbcCabsin21sin21sin21提出问题不共线的三点确定一个三角形，三角形的三条边确定则其面积也就确定。提出问题：已知一个三角形ABC的三条边cba、、，如何计算此三角形的面积S？二、秦九韶公式例1、已知ABC的内角CBA、、所对的边长分别为cba、、，面积为S.当15,14,13bac时，求三角形的面积S.解题思路：21ABCS×底×高BcaAbcCabsin21sin21sin21解三角形，自然会想到正弦定理、余弦定理，故得以下解法，方法一：在ABC中，由余弦定理得13514132151413cos222B，由诱导公式得1312sinB.所以841312131421sin21BacSABC.方法二：先求高，再求面积。利用方程思想得以下解法，过A作BC上的高线AD，得两个直角三角形ADB、ADC，计ADh由已知及勾股定理得1415132222hh解得12h.所以8412142121ahSABC.南宋著名数学家秦九韶（1202—1261）著《数书九章》卷五“田域类”里有这样一个题目：“问沙田一段，有三斜。其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里。里法三百步。欲知为田几何。”答曰：“田积三百一十五顷。”术曰：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余，半之，自乘于上。以小斜幂乘大斜幂，减上，余，四约之为实。开平方，得积。”注：中国古代面积换算1顷=100亩1亩=240平方步1里=300步])2141513(1513[41222222S=84（平方里）31510024030030084（倾）这一问题实际上给出了已知三角形的三边，求三角形面积的方法，把以上文字中的“三斜求积术”写成公式，就是])2([41222222bcacaS这一公式习惯上被后人称之为秦九韶公式。如何证明此公式呢？仔细观察要证明的式子的结构，发现与余弦定理有关，得以下证法：证法一：由BcaSsin21得)cos1(41sin412222222BacBacS又由余弦定理得cabacB2cos222代入上式变形得])2([412222222bacacS所以])2([41222222bacacS证法二：仿例1的方法二得勾股定理证法：过点A作AD垂直BC，交BC于D点，设hAD、xBD、yDC，则有222hxc222hybyxa联立求解得abacx2222acbay2222abacacxch2)(422222222所以])2([4121222222bacacahS注：求h也可一步到位ahbhc2222.三、海伦公式无独有偶，古希腊数学家也给出了已知三角形的三条边计算三角形面积的海伦公式。海伦（大约为公元一世纪的古希腊数学家）在《度量术》中给出了计算三角形面积的实例：设三边长为7、8、9.相加取其半，得12,12减去7，余5，同样，12减8余4,12减9余3.12乘以5得60，再乘4得240，再乘以3，得720.求720的平方根，即为所求面积。在三角形中，三条边长分别为13、14、15，则三角形面积为84。以上实例实际上给出了已知三角形的三边，求三角形面积的方法，把以上方法翻译成公式，就是已知三角形的三边为cba、、，设)(21cbap，则三角形的面积))()((cpbpappS这一公式习惯上称为海伦公式。容易证明，海伦公式与秦九韶公式是等价的。由秦九韶公式])2([41222222bacacS，经因式分解就可得海伦公式))()((cpbpappS.四、海伦与秦九韶•秦九韶（约1202——1261）中国数学家，南宋人，著《数书九章》，其在数学上的主要贡献为一次同余式和高次方程的解法。详细生平和贡献可参阅中国古代思想家评传丛书之《刘徽评传》里的秦九韶评传。•秦九韶在《数书九章》中只给出了计算三角形面积的实例及方法“术”，而没有给出公式的证明，吴文俊院士根据中国古代数学思想构造性的特点,利用“出入相补原理”给出了秦九韶公式的一个复古证法。•海伦（Heron）大约为公元一世纪的古希腊数学家、测绘工程师。海伦公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，并在其代表著作《度量术》卷Ⅰ的第8...