1.1.3四种命题间的相互关系【课标要求】1．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系．2．会利用命题的等价性解决问题．【核心扫描】1．掌握四种命题之间的相互关系．(重点)2．等价命题的应用．(难点)自学导引1．四种命题的相互关系2．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.原命题逆命题否命题逆否命题真真真假假真假假真真假真真假假假(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性．想一想：在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？提示因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0，2，4.相同没有关系名师点睛1．四种命题的真假关系原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真；原命题的逆命题为真，它的否命题一定为真．2．四种命题的等价关系的应用判断某个命题的真假，如果直接判断不易，可转化为判断它的逆否命题的真假，如带有否定词的命题真假的判断．因此，证明某一问题时，若直接证明不容易入手，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．题型一四种命题间的相互关系【例1】命题a的否命题是b，命题b的逆否命题是c，命题c的逆命题是d，则命题a与命题d的关系是怎样的？[思路探索]设命题a为“若p，则q”，再根据已知各命题的关系写出各命题．解设命题a：若p，则q，则命题b：若綈p，则綈q，命题c：若q，则p，命题d：若p，则q，∴命题a与命题d是同一命题．规律方法判断两个命题的关系，从其结构上分析条件和结论是最本质的方法，解题关键是熟练掌握四种命题的概念．解①中的逆命题为：若一个三角形三个内角均为60°，则该三角形为等边三角形．真命题；②中对于方程x2＋2x－k＝0来说，若k>0，则Δ＝4＋4k>0，故方程有实根，故②中的逆否命题为真命题；③中的否命题为：不全等三角形的面积不相等，易判断为假命题；④中否命题为：若ab＝0，则a＝0，易判断为假命题．故选C.答案C规律方法在判断命题真假时，利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题同真同假，可取得事半功倍的效果．尤其对含有否定意义的命题，转化为逆否命题进行判断会更容易．【变式2】判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解 m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．题型三逆否命题的应用【例3】(12分)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．审题指导本题的命题意图是考查逆否命题的应用．由于原命题与它的逆否命题同真同假，所以，可写出原命题的逆否命题，再判断其真假，或者由判断原命题的真假得出逆否命题的真假．[规范解答]法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下：(3分) 抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，(6分)若a<1，则4a－7<0.即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点．(9分)所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真．(12分)法二先判断原命题的真假．因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，(4分)即4a－7≥0，解得a≥74.(8分)因为a≥74，所以a≥1，所以原命题为真．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．(12分)【题后反思】由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．法二假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，又 f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)
