同济六版高等数学下册9-3VIP免费

1),(),(yxfyxxfxyxfx),(),(),(yxfyyxfyyxfy),(二元函数对x和对y的偏微分二元函数对x和对y的偏增量由一元函数微分学中增量与微分的关系:)()(xfxxfy得§3.全微分.)(dxxfdy一元函数的微分为：.)(dxxfdy242如果函数),(yxfz在点),(yx的某邻域内有定义，并设),(yyxxP为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差),(),(yxfyyxxf全增量的概念记为z，即z=),(),(yxfyyxxf为函数在点P对应于自变量增量yx,的全增量，3一、全微分的定义由一元函数可微的定义定义即dz=yBxA.如果函数),(yxfz在点),(yx的全增量),(),(yxfyyxxfz可以表示为其中BA,不依赖于yx,而仅与yx,有关，22)()(yx，则称函数),(yxfz在点),(yx可微分，yBxA称为函数),(yxfz在点),(yx的全微分，记为dz，)(oyBxAzdy微分：y可微：),(xoxA.)(dxxfxA1、判断函数可微的方法。2、如果可微，那么A,B是什么？4函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分.如果函数),(yxfz在点),(yx可微分,则函数在该点连续.事实上),(oyBxAz,0lim0z故函数),(yxfz在点),(yx处连续.即可微连续可微，可偏导，连续),(lim00yyxxfyx得),(yxf5二、全微分存在的必要条件和充分条件定理1（必要条件）如果函数),(yxfz在点),(yx可微分，则该函数在点),(yx的偏导数xz、yz必存在，且函数),(yxfz在点),(yx的全微分为yyzxxzdz6证如果函数),(yxfz在点),(yxP可微分,),(yyxxPP的某个邻域)(oyBxAz总成立,当0y时，上式仍成立，此时||x,),(),(yxfyxxf|),(|xoxAAxyxfyxxfx),(),(lim0xz同理可得.yzB7y=f(x)在某点处：可导可微z=f(x,y)在某点处：可偏导可微分例如，.000),(222222yxyxyxxyyxf在点)0,0(处有0)0,0()0,0(yxff8])0,0()0,0([yfxfzyx,)()(22yxyx如果考虑点),(yxP沿着直线xy趋近于)0,0(，则22)()(yxyx22)()(xxxx,21说明它不能随着0而趋于0,0所以当时),(])0,0()0,0([oyfxfzyx函数在点)0,0(处不可微.22()()xyxy9z=f(x,y)在某点处：可偏导可微分定理２（充分条件）如果函数),(yxfz的偏导数xz、yz在点),(yx连续，则该函数在点),(yx可微分．证),(),(yxfyyxxfz)],(),([yyxfyyxxf)],,(),([yxfyyxf即偏导数连续可微分充分条件：10),(),(yyxfyyxxfxyyxxfx),(1)10(1在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xyxfx]),([1（依偏导数的连续性）且当0,0yx时，01.其中1为yx,的函数,)](0,lim[00xxAxfAxfxx同理),(),(yxfyyxf,]),([2yyxfy且当0,0yx时，.0211xxyxfx1),(yyyxfy2),(z12xy,00故函数),(yxfz在点),(yx处可微.),(21oyx1212.dyyzdxxzdz全微分的定义可推广到三元函数:.),,,(dzzudyyudxxuduzyxfu通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这个事实称为二元函数的微分符合叠加原理叠加原理．．习惯上把自变量的增量用微分表示,故记作故有下述叠加原理称为偏微分.uzduuuzyxd,d,duuuuzyxdddd13叠加原理也适用于n元函数的情况:nxxxndxfdxfdxfduxxxfun212121),,,(14例1计算函数xyez在点)1,2(处的全微分.解xzyz)1,2(xz)1,2(yz.222dyedxedz所求全微分,xyye,xyxe,2e,22e15例2求函数)2cos(yxyz，当4x，y，4dx，dy时的全微分.解xzyzdyyzdxxzdz),4(),4(),4().74(82),2sin(yxy),2sin(2)2co...