3.3.2函数的极值与导数鄂托克旗高级中学刘金才3.3.2函数的极值与导数【学习要求】1.了解函数极值的概念,会从几何直观理解函数的极值与导数的关系,并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.【学法指导】函数的极值反映的是函数在某点附近的性质,是局部性质.函数极值可以在函数图象上“眼见为实”,通过研究极值初步体会函数的导数的作用.探究点一函数的极值与导数的关系问题1如图观察,函数y=f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?y=f(x)在这些点处的导数值是多少?在这些点附近,y=f(x)的导数的符号有什么规律?答以d、e两点为例,函数y=f(x)在点x=d处的函数值f(d)比它在点x=d附近其他点的函数值都小,f′(d)=0;在x=d的附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.类似地,函数y=f(x)在点x=e的函数值f(e)比它在x=e附近其他点的函数值都大,f′(e)=0;在x=e附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0.极值的概念已知函数y=f(x),设x0是定义域(a,b)内任一点,如果对x0附近的所有点x,都有,则称函数f(x)在点x0处取,记作y极大=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个.如果都有,则称函数f(x)在点x0处取,记作y极小=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个.极大值与极小值统称为.极大值点与极小值点统称为.f(x)f(x0)极小值极小值点极值极值点问题2函数的极大值一定大于极小值吗?在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗?答函数的极大值与极小值并无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小值;在区间内可导函数的极大值或极小值可以不止一个.问题3若某点处的导数值为零,那么,此点一定是极值点吗?举例说明.答可导函数的极值点处导数为零,但导数值为零的点不一定是极值点.可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)=0且在x0两侧f′(x)的符号不同.例如,函数f(x)=x3可导,且在x=0处满足f′(0)=0,但由于当x<0和x>0时均有f′(x)>0,所以x=0不是函数f(x)=x3的极值点.例1求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.解f′(x)=3x2-6x-9.解方程3x2-6x-9=0,得x1=-1,x2=3.当x变化时,f′(x),f(x)变化状态如下表:由表可知:当x=-1时,f(x)有极大值f(-1)=10.当x=3时,f(x)有极小值f(3)=-22.求可导函数f(x)的极值的方法(1)求导数f′(x);(2)求方程的所有实数根;(3)对每个实数根进行检验,判断在每个根的左右侧,导函数f′(x)的符号如何变化.①如果f′(x)的符号由正变负,则f(x0)是极值.②如果f′(x)的符号由负变正,则f(x0)是极值.③如果在f′(x)=0的根x=x0的左右两侧符号不变,则f(x0).f′(x)=0大小不是极值跟踪训练1求函数f(x)=3x+3lnx的极值.解函数f(x)=3x+3lnx的定义域为(0,+∞),f′(x)=-3x2+3x=3x-1x2.令f′(x)=0,得x=1.当x变化时,f′(x)与f(x)的变化状态如下表:因此当x=1时,f(x)有极小值f(1)=3.跟踪训练2设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值;(2)判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.解(1) f(x)=alnx+bx2+x,∴f′(x)=ax+2bx+1.由极值点的必要条件可知:f′(1)=f′(2)=0,∴a+2b+1=0且a2+4b+1=0,解方程组得,a=-23,b=-16.探究点二函数的极值与导数的应用(2)由(1)可知f(x)=-23lnx-16x2+x.f′(x)=-23x-1-13x+1=-x-1x-23x.当x∈(0,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,2)时,f′(x)>0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)<0;所以x=1是函数f(x)的极小值点,x=2是函数f(x)的极大值点.跟踪训练3若函数f(x)=2x3-6x+k在R上只有一个零点,求常数k的取值范围.解f(x)=2x3-6x+k,则f′(x)=6x2-6,令f′(x)=0,得x=-1或x=1,可知f(x)在(-1,1)上为减函数,f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上为增函数.f(x)的极大值为f(-1)=4+k,f(x)的极小值为f(1)=-4+k.要使函数f(x)只有一个零点,只需4+k<0或-4+k>0(如图所示)或即k<-4或k>4.∴k的取值范围是(-∞,-4)∪(4,+∞).1.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”...