3.1.3导数的几何意义VIP免费

3.1.3导数的几何意义自主学习新知突破1．了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系，通过函数的图象理解导数的几何意义．2．了解导函数的概念，会求导函数．3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，当点B沿曲线趋近于A时，割线AB的斜率kAB与曲线在点A处的切线的斜率k之间有什么关系？与f′(x0)有什么关系？[提示]割线AB的斜率kAB无限接近于曲线在点A处的切线的斜率k，k＝f′(x0)．函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．切线方程为______________________．导数的几何意义y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)函数y＝f(x)的导函数从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个______的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称______)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝________________.确定导数limΔx→0fx＋Δx－fxΔx“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系(1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数．(2)“导函数”：如果函数f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.(3)导函数也简称导数．所以(4)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是()A．在点x0处的斜率B．在点(x0，f(x0))处切线与x轴所夹锐角的正切值C．曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率D．点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率解析：由导数的几何意义知，选项C正确．答案：C2．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A．4B．16C．8D．2解析：曲线在点A处的切线的斜率就是函数y＝2x2在x＝2处的导数．f′(2)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→022＋Δx2－2×22Δx＝limΔx→08Δx＋2Δx2Δx＝8，故选C.答案：C3．已知曲线y＝3x2，则在点A(1,3)处的曲线的切线方程为____________．解析： ΔyΔx＝3x＋Δx2－3x2Δx＝6x＋3Δx，∴y′|x＝1＝limΔx→0(6＋3Δx)＝6.通过验证得点A(1,3)在曲线y＝3x2上．∴曲线在点A(1,3)处的切线斜率为6.∴所求的切线方程为y－3＝6(x－1)，即6x－y－3＝0.答案：6x－y－3＝04．求曲线f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．解析： 点(－2，－1)在曲线y＝2x上，∴曲线y＝2x在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y＝2x在点(－2，－1)处的导数．∴k＝f′(－2)＝limΔx→0f－2＋Δx－f－2Δx＝limΔx→02－2＋Δx－2－2Δx＝limΔx→01－2＋Δx＝－12，∴曲线y＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－12(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.合作探究课堂互动在点P处的切线已知曲线y＝13x3上一点P2，83，如图所示．(1)求曲线在点P处的切线的斜率；(2)求曲线在点P处的切线方程．[思路点拨](1)因为y＝13x3，所以y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→013x＋Δx3－13x3Δx＝13limΔx→03x2·Δx＋3xΔx2＋Δx3Δx＝13limΔx→0[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝x2，所以y′|x＝2＝22＝4，所以曲线y＝13x3在点P处的切线的斜率为4.(2)曲线y＝13x3在点P处的切线方程是y－83＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．1．函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的切...