数学第一章解三角形1.1正弦正理和余弦定理1.1.1正弦定理数学自主预习课堂探究数学自主预习1.了解正弦定理的推导过程.2.能利用正弦定理解决两类解三角形的基本问题.3.能利用正弦定理及其变形判断三角形的形状.课标要求数学知识梳理1.正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比,即sinaA=sinbB=sincC,这个比值是三角形外接圆的直径2R.相等2.解三角形一般地,把三角形的三个内角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.3.正弦定理的应用正弦定理主要用于解决下列两类问题:(1)已知△ABC两角和任意一边,求其他两边和一角.(2)已知△ABC两边和其中一边的对角,求另外一边的对角和其他的边角.元素数学自我检测1.(正弦定理的变形)在△ABC中,一定成立的等式是()(A)asinA=bsinB(B)acosA=bcosB(C)asinB=bsinA(D)acosB=bcosAC2.(利用正弦定理判断三角形的形状)在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶4∶5,则△ABC是()(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形A数学3.(已知两边及其中一边的对角解三角形)在△ABC中,a=3,b=5,sinA=13,则sinB等于()(A)15(B)59(C)53(D)1B解析:由正弦定理得sinaA=sinbB,sinB=1533=59.故选B.数学4.(正弦定理的几何意义)在△ABC中,已知a=2,∠A=120°,则其外接圆的半径R=.解析:因为2R=sinaA=2sin120=433,所以R=233.答案:233数学【例1】在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,求A,c.课堂探究已知两角及一边解三角形题型一解:A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.由sinaA=sincC得,c=sinsinaCA=8sin75sin45=268422=4(3+1).所以A=45°,c=4(3+1).数学题后反思已知三角形的两角和任一边解三角形,基本思路是:(1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,再由三角形内角和定理求出第三个角.(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求另外两边.数学即时训练1-1:在△ABC中,已知A=45°,B=30°,a=2,求出其他边和角的大小.解:根据三角形内角和定理,得C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°,根据正弦定理得:b=sinsinaBA=2sin30sin45=12222=2,c=sinsinaCA=2sin105sin45=2sin75sin45=622422=3+1.数学【备用例1】已知△ABC中,a=20,A=30°,C=45°,求B,b,c.解:因为A=30°,C=45°,所以B=180°-(A+C)=105°,由正弦定理得b=sinsinaBA=20sin105sin30=40sin(45°+60°)=10(6+2);c=sinsinaCA=20sin45sin30=202,所以B=105°,b=10(6+2),c=202.数学已知两边及其中一边的对角解三角形题型二【教师备用】1.在△ABC中,若A>B,是否有sinA>sinB?反之,是否成立?提示:若A>B,则a>b,又sinaA=sinbB,所以sinA>sinB,反之,若sinA>sinB,则a>b,即A>B,故A>B⇔sinA>sinB.数学2.在△ABC中,已知a,b和A,三角形解的情况如何?提示:在△ABC中,已知a,b和A时三角形解的情况:A为锐角A为钝角或直角图象关系式①a=bsinA②a≥bbsinA
ba≤b解的个数一解两解无解一解无解数学解:因为sinaA=sincC,所以sinA=sinaCc=22.所以A=π4或34π.又因为c>a,所以C>A,所以A=π4.所以B=5π12,b=sinsincBC=5π6sin12πsin3=3+1.【例2】在△ABC中,c=6,C=π3,a=2,求A、B、b.数学题后反思已知三角形中的两边和其中一边的对角,解三角形时(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角.(3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论.数学解:因为6sinπ4<2<6,所以本题有两解.因为sinaA=sincC,所以sinC=sincAa=32.所以C=π3或2π3.当C=π3时,B=5π12,b=sinsinaBA=3+1.当C=2π3时,B=π12,b=sinsinaBA=3-1.即时训练21:把本例中的“C=π3”改为“A=π4”,其他已知条件不变,求C、B、b.数学解:根据正弦定理,sinB=sinbAa=sin603=12,因为b
