§1导数的概念导数是微分学的核心概念，是研究函数与自变量关系的产物，又是深刻研究函数性态的有力工具.无论何种学科，只要涉及“变化率”,就离不开导数.一、导数的概念二、导函数三、导数的几何意义一、导数的概念一般认为，求变速运动的瞬时速度，求已知曲线上一点处的切线，求函数的最大、最小值，这是微分学产生的三个源头。牛顿和莱布尼茨就是分别在研究瞬时速度和曲线的切线时发现导数的.下面是两个关于导数的经典例子.牛顿(1642-1727,英国)当t越来越接近t₀时，平均速度就越来越接近t₀时刻的瞬时速度.严格地说，当极限(1)1.瞬时速度设一质点作直线运动，质点的位置s是时间t的函数，即其运动规律是s=s(t),则在某时刻t₀及邻近时刻t之间的平均速度是存在时，这个极限就是质点在t₀时刻的瞬时速度.2.切线的斜率如图所示，需要寻找曲线y=f(x)在其上一点P(x₀,y₀)处的切线PT.为此我们在P的邻近取一y点Q,作曲线的割线PQ,这条割线的斜率为点击上图动画演示前页后页边回设想一下，当动点Q沿此曲线无限接近点P时，k的极限若存在，则这个极限(2)会是什么呢?答：它就是曲线在点P的切线PT的斜率上面两个问题虽然出发点相异，但都可归结为同一类型的数学问题：求函数f在点x₀处的增量△y=f(x)-f(x)₁与自变量增量△x=x-x。之比的极限.这个增量比称为函数f关于自变量的平均变化率，增量比的极限(如果存在)称为f在点x₀处关于x的瞬时变化率(或简称变化率).定义1设函数y=f(x)在点x₀的某邻域内有定义，如果极限(3)存在，则称函数f在点x₀可导，该极限称为f在x₀的导数，记作f'(x₀).如果令△x=x-x,₀△y=f(x+₀△x)-f(x),₀导数就可以写成(4)这说明导数是函数增量△y与自变量增量△x之比的极限，即f'(x₀)就是f(x)关于x在x₀处的变化率.如果(3)或(4)式的极限不存在，则称f(x)在点x₀不可导.例1求函数y=x³在x=1处的导数，并求该曲线在点P(1,1)的切线方程.解因为△y=f(1+△x)-f(1)=(1+△x)³-1=3△x+3△x²+△x³,由此可知曲线y=x³在点P(1,1)的切线斜率为k=f'(1)=3,于是所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.所以例2常量函数f(x)=c在任何一点x的导数都为零.这是因为△y=0,所以f'(x)=0.例3证明函数f(x)=|x|在x=0处不可导.证因为当x→0时它的极限不存在，所以f(x)在x=0处不可导.在x=0处不可导.证因为当x→0时，不存在极限，所以f在x=0处不可导.例4证明函数是当△x→0时的无穷小量，于是ε△x=o(△x).这样，函数f(x)的增量可以写成△y=f'(x)₀△x+o(△x).(5)(5)式称为f(x)在点x₀的有限增量公式，这个公式对△x=0仍然成立.根据有限增量公式即可得到下面定理。有限增量公式设f(x)在点x₀可导，则定理5.1如果函数f在点x₀可导，则f在点x₀连续.值得注意的是函数在某点连续仅是函数在该点可导的必要条件.如例3、例4中的函数均在x=0处连续，却不可导.例5证明函数f(x)=x²D(x)仅在x=0处可导，其中D(x)是熟知的狄利克雷函数.证当x≠0₀时，用归结原理容易证明f(x)在点x₀不连续，由定理5.1,f(x)在点x₀不可导.当x₀=0时，因为D(x)≤1,所以有由于导数是一种极限，因此如同左、右极限那样，可以定义左、右导数(单侧导数).定义2设函数y=f(x)在点x₀的某个右邻域(x₀,x₀+δ)上有定义，如果右极限存在，则称该极限为f(x)在点x₀的右导数，记作fí(x₀).类似地可以定义左导数，合起来即为：(6)右导数和左导数统称为单侧导数.类比左、右极限与极限的关系，我们有：定理5.2如果函数y=f(x)在点x₀的某个邻域内有定义，则f'(x)₀存在的充要条件是ff(x)₀、f²(x)₀都存在，且f+(x)=f-(x).₀₀在讨论分段函数在分段点上的可导性时，本结论很有用处，请看下面例题.试讨论f(x)在x=0处的左、右导数和导数.解容易看到f(x)在x=0处连续.又因例6设所以由于f(O)≠fL(0),故f(x)在x=0处不可导.yX二、导函数如果函数f在区间I上的每一点都可导(对于区间端点考虑相应的单侧导数，如左端点考虑右导数),则称f为区间I上的可导函数.此时，对I上的任意一点x都有f的一个导数f'(x)₀与之对应，这就定义了一个在区间I上的函数，称为f在I上的导函数，简称导数，记作f'(x)或.即(7)仅为一个记号，学了微分之后就会知注这里例7求函数y=x...
