二阶常微分方程解法--求解表格VIP专享VIP免费

二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是ypyqyfx()（1）其中pq,是常数。方程（1）的通解为对应的齐次方程0qyypy（2）的通解Y和方程（1）的一个特解*y之和。即*yYy.我们已解决了求二阶常系数齐次线性方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解*y的方法。下面我们只介绍当方程（1）中的)(xf为如下两种常见形式时求其特解*y的方法。一、fxePxxm()()型由于方程（1）右端函数fx()是指数函数ex与m次多项式Pxm()的乘积，而指数函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测：方程（1）的特解应为yeQxx()(Qx()是某个次数待定的多项式)yeQxeQxxx()()yeQxQxQxx[()()()]22代入方程（1），得eQxpQxpqQxePxxxm[()()()()()]()22消去ex，得QxpQxpqQxPxm()()()()()()22（3）讨论01、如果不是特征方程rprq20的根。即02qp由于Pxm()是一个m次的多项式，欲使（3）的两端恒等，那未Qx()必为一个m次多项式，设为Qxbxbxbxbmmmmm()0111将之代入（3），比较恒等式两端x的同次幂的系数，就得到以bbbbmm011,,,,为未知数的m1个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这m1个待定的系数，并得到特解yeQxxm()02、如果是特征方程rprq20的单根。即20pq，但20p欲使（3）式的两端恒等，那么Qx()必是一个m次多项式。因此，可令QxxQxm()()并且用同样的方法来确定)(xQ的系数bbbbmm011,,,,。03、如果是特征方程rprq20的二重根。即20pq，且20p。欲使（3）式的两端恒等，那么Qx()必是一个m次多项式因此，可令QxxQxm()()2并且用同样的方法来确定)(xQ的系数bbbbmm011,,,,。综上所述，我们有结论如果fxePxxm()()，则方程（1）的特解形式为yxQxekmx()其中Qxm()是与Pxm()同次的多项式，k的取值应满足条件k012不是特征方程的根是特征方程的单根是特征方程的二重根例1求yyyxex562的通解。解特征方程为0652rr特征根为3,221rr齐次方程的通解为xxeCeCY3221因为2是特征单根，所以，设非齐次方程的特解为yxbxbex()012则*y[()]222020112bxbbxbex*y[()]484240201012bxbbxbbex将上述三式代入原方程，得()2200122bxbbexexx，比较恒等式两端的系数，得2120001bbb解得210b，11b因此xexxy2)121(*所以方程的通解为ycecexxexxx12232121()二、fxePxxPxxxln()[()cos()sin]型由于方程（1）右端函数为xxpxxpenlxsin)(cos)(，这种形式得到非齐次方程的特解*y的过程稍微复杂些，所以我们这里就只给出结论yxeRxxRxxkxmm[()cos()sin]()()12其中，Rxm()()1、Rxm()()2是两个m次多项式，mlnmax{,}，且是特征方程的根若不是特征方程的根若iik10例2求方程yyxxcos2的通解。解特征方程r210特征根ir2,1齐次方程的通解为xCxCYsincos21这里1,2,0m，由于ii2不是特征方程的根，所以设方程的特解为yaxbxcxdx()cos()sin22代入原方程，得xxxadCxxCbax2cos2sin)433(2cos)433(比较两端同类项的系数，得0430304313adCCba解得94,0,0,31dCba于是yxxx132492cossin所以非齐次方程的通解为ycxcxxxx12132492cossincossin