钢管下料问题摘要生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成所需大小这种工艺过程,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.针对钢管下料问题，我们采用数学中的线性规划模型.对模型进行了合理的理论证明和推导，然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo11.0，对题目所提供的数据进行计算，从而得出最优解.关键词线性规划最优解钢管下料1、问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm，现在一顾客需要15根290mm，28根315mm，21根350mm和30根455mm的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm，为了使总费用最小，应该如何下料？2、问题的分析首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少.3、基本假设假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行.4、定义符号说明（1）设每根钢管的价格为a，为简化问题先不进行对a的计算.（2）四种不同的切割模式：、、、.（3）其对应的钢管数量分别为：、、、（非负整数）.5、模型的建立由于不同的模式不能超过四种，可以用表示按照第种模式（=1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i种切割模式下每根原料钢管生产290mm，315mm,,350mm和455mm的钢管数量分别为，，，（非负整数）.决策目标切割钢管总费用最小，目标为：Min=（1.1+1.2+1.3+1.4）a(1)为简化问题先不带入a约束条件为满足客户需求应有+++≧15(2)+++≧28(3)+++≧21(4)+++≧15(5)每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm也不能小于1750mm.于是：1750≦290+315+350+455≦1850（6）1750≦290+315+350+455≦1850（7）1750≦290+315+350+455≦1850（8）1750≦290+315+350+455≦1850（9）由于排列顺序无关紧要因此有≧≧≧(10)又由于总根数不能少于（15290+28315+21350+30455）/1850≧18.47(11)也不能大于（15290+28315+21350+30455）/1750≦19.525(12)由于一根原钢管最多生产5根产品，所以有+++≦5(13)7、模型的求解将（1）~（13）构建的模型输入Lingo11.0经计算绘制成表格如下：切割模式290mm315mm350mm455mm余料mm022165300270013130000430即取切割模式14根及切割模式5根，即可得到最优解：Min=（1411/10+512/10）a=21.4a6、结果分析、模型的评价与改进下料问题的建模主要有两部分组成，一是确定下料模式，二是构造优化模型.对于下料规格不太多时，可以采用枚举出下料模式，对规格太多的，则适用于本模型.而从本模型中可以看出尽管切割模式x3、x4的余料最少，但是其成本比较高因而舍弃.7、参考文献【1】姜启源，谢金星，叶俊,数学模型(第三版)，清华大学出版社，第121页.8、附录模型求解的算法程序：model:min=x1*1.1+x2*1.2+x3*1.3+x4*1.4;r11*x1+r12*x2+r13*x3+r14*x4>=15;r21*x1+r22*x2+r23*x3+r24*x4>=28;r31*x1+r32*x2+r33*x3+r34*x4>=21;r41*x1+r42*x2+r43*x3+r44*x4>=15;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41<=1850;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42<=1850;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43<=1850;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44<=1850;290*r11+315*r21+350*r31+455*r41>=1750;290*r12+315*r22+350*r32+455*r42>=1750;290*r13+315*r23+350*r33+455*r43>=1750;290*r14+315*r24+350*r34+455*r44>=1750;x1+x2+x3+x4>=19;x1+x2+x3+x4<=20;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;r11+r21+r31+r41<=5;r12+r22+r32+r42<=5;r13+r23+r33+r43<=5;r14+r24+r34+r44<=5;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x2);@gin(x4);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14);...
