4.3平面向量的数量积教学内容：平面向量的数量积（2课时）教学目标：理解平面向量数量积的含义及其物理意义，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系．教学重点：平面向量数量积的运算及其应用（解决有关长度、角度和垂直的问题）．教学难点：平面向量数量积的几何意义．教学用具：三角板教学设计：一、知识要点1.平面向量的数量积的定义（1）向量的夹角：已知两个非零向量，，过点作，，则叫做向量，的夹角.当且仅当两个非零向量，同向时，；当且仅当两个非零向量，反向时，；当且仅当两个非零向量，的夹角时，称与垂直，记作.注：两个向量，平移成有公共起点时两个向量所成的角才是向量的夹角；要注意它的取值范围是；零向量与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题.（2）向量的数量积：两个非零向量，的夹角为，则叫做向量，的数量积（或内积），记作.（3）向量数量积的几何意义：叫做在方向上的投影，等于的长度与在方向上的投影的乘积.2.向量的运算运算运算法则运算性质数量积是一个实数，，与同向时，与反向时，，，注：与实数乘法比较，虽然乘法公式仍然适用，但是结合律不成立，即；消去律不成立，即由不能得到；此外由也不能得到或.3.重要定理、公式的坐标表示二、典型例示例1已知，，与的夹角为，求；；；；.注：数量积的计算是基本的技能，在展开时与多项式乘法类似（乘法公式仍然适用），但与乘法的法则比较，数量积除了模的乘积之外还有夹角的余弦..例2（1）设，满足，与的夹角为，求和；（2）已知两个单位向量与的夹角为，若，，求与夹角的余弦；（4）已知，，，求向量在向量方向上的投影.注：本例中的问题是向量的数量积所涉及到的基本问题（数量积的计算及有关长度、角度），体现了向量的工具性，要切实把握好解决这些问题的基本方法；其中角度的计算是以数量积和向量长度的计算为基础的.例3（1）已知平面上三个向量，，的模均为，它们相互之间的夹角都是，求证：；（2）设，满足，，，若向量与互相垂直，求实数的值（是否存在实数，使得向量与互相垂直？说明理由）.（3）若,是两个非零向量，且与垂直，与垂直，试求与的夹角.注：向量垂直的充要条件的应用是重要而且关键的知识点，需要通过举一反三的方式训练落实，这里根据向量满足的不同条件列出方程（组）求解是确定参数值的基本方法.例4已知，，与的夹角为，求当向量与的夹角是钝角时，实数的取值范围.解：由已知得，因为向量与的夹角是钝角，所以①，且与不反向共线②，由①得，即，解得；由②得，有且，解得，则有，综上所述，当向量与的夹角是钝角时，实数的取值范围是且．注：根据向量满足的不同条件列出不等式（组）求解是确定参数值取值的基本方法；不可忽略向量的特殊位置关系的探讨.三、课堂练习1.已知，，与的夹角为，则等于（）A.B.C.D.2.已知，，则向量与的位置关系是（）A.平行B.夹角为C.垂直D.不平行也不垂直3.设，满足，且，若与互相垂直，则实数的值是（）A.B.C.D.4.若,是两个非零向量，且，，则与的夹角是（）A.B.C.D.四、课堂小结向量的数量积所涉及到的基本问题包括：数量积的计算、有关长度和角度的计算、垂直问题的探讨，体现了向量的工具性.五、课外作业1．设，，是任意的非零向量，且相互不共线，则①不与垂直；②；③；④中，是真命题的有（）A．①②B．②③C．③④D．②④2．已知下列各式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么=（）.A．B．C．D．44．已知，，，则等于（）A．23B．35C．D．5.若向量与的夹角为，，，则向量的模为（）A．2B．4C．6D．126．已知，，，则与的夹角是（）A．B．C．D．7.若，，，且，则向量与的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°8．已知向量≠，||＝，对任意，恒有|－t|≥|－|，则（）A．⊥B．⊥(－)C．⊥(－)D．(＋)⊥(－)9．已知，，则的取值范围是（）A．B．C．D．10.已知正方形的边长为，，，，则的模等于（）A．0B．3C．D．211.中，，，，则.12．等腰中，，则.13．设为内一点，，则是的_______心。14．已知...
