平面向量的数量积VIP专享VIP免费

平面向量的数量积基础梳理（研读必修4第103--107页，完成下列知识点的梳理）1．两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b；当θ＝180°时，a与b；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作。2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.3．向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的数量积．4．向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝；(2)a⊥b⇔a·b＝；(3)当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝，特别的，a·a＝或者|a|＝；(4)cosθ＝；(5)|a·b||a||b|.5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．平面向量数量积的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则(1)a·b＝；(2)|a|＝；(3)cos〈a，b〉＝；(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB＝a，则|a|＝(平面内两点间的距离公式)．双基自测：判断正误：(1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？(3)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)(4）若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则有b＝c(5)(a·b)c≠a(b·c)(6)正三角形ABC中，AB与BC的夹角应为60度.选择题：1．已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为()．A.B.C.D.2．若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是()．A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)B．(a＋b)·c＝a·c＋b·cC．m(a＋b)＝ma＋mbD．(a·b)·c＝a·(b·c)3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()．A．4B．3C．2D．04．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于()．A．9B．4C．0D．－45．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．典型例题：【例1】►(2011·合肥模拟)在△ABC中，M是BC的中点，|AM|＝1，AP＝2PM，则PA·(PB＋PC)＝________.【例2】►已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|.【例3】►已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.【训练3】已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，OA＝(－2，m)，OB＝(n,1)，OC＝(5，－1)，且OA⊥OB，求实数m，n的值．能力提升（试做高考题，相信你能行）（2013年大纲卷）已知向量1,1,2,2,,=mnmnmn若则（A）4（B）-3（C）2（D）-1（2013年湖北卷）已知点1,1A1,2B2,1C3,4D则向量AB�在CD�方向上的投影为（）A.322B.3152C.322D.3152(2013年新课标1理)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____.（2013年山东卷）已知向量AB�与AC�的夹角为120，且||3,||2,ABAC�若,APABAC�且APBC�,则实数的值为。(2013年新课标2理)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=_______.